重複順列①

問題

$4$個の数字$0,1,2,3$を用いてできる$4$桁の偶数は全部で何個あるか。 ただし同じ数字を重複して用いてよい。

解説

重複順列の解説をしていきます。

「重複順列」ってなんですか？

重複順列は、重複を許した順列のことだよ。順列は、「同じものは繰り返し取ってはいけない」んだけど、重複順列では同じものを重複して用いていいんだ。

はじめに公式を確認しておきましょう。

公式を覚えるというよりは、公式の意味を理解してそれを使いこなせるように練習していこう。

それでは問題を見ていきましょう。

順列の問題を解くときは、問題文を注意して読む必要があります。

この問題であれば、「$4$桁の偶数」を作りたいので適当に$0$~$3$の数字を$4$つ並べれば良いわけではなく、

1. 千の位(先頭)は$0$以外
2. 一の位は$0$か$2$

この2つの条件のもとで$4$桁の数字を作ることになります。

問題文の「$4$桁」という部分から、先頭に$0$が来た場合$3$桁になってしまうので①の条件が分かり、「偶数」という部分から②の条件である$一$の位が$0$か$2$になることが分かります。

この条件を見抜くことが問題を解くポイントだよ。

条件を整理したら順列を考えていきましょう。

基本的には、$\underline{\textcolor{red}{ 制約の強い桁}}$から決めていきます。

この問題であれば、先ほどの条件①と②をふまえれば一の位と千の位の制約が強いですね。

・一の位は、$0$か$2$の$2$通り

・千の位は、$1$か$2$か$3$の$3$通り

・十の位と百の位はどの数字でも良いので$4$通り

以上より、これらを掛け合わせると$2\cdot 3 \cdot 4^2=\underline{96通り}$となります。

ここでは重複順列の問題について解説しました。

公式を覚えるというよりは、実際にどういうときに題意を満たすのかを考えることが重要です。

「重複順列②」もあるのでぜひ学習してくださいね。

少しずつ順列の問題をマスターしていきましょう！