集合の要素の個数

問題

ある$40$人のクラスで、英語が好きな生徒が$25$人、数学が好きな生徒が$20$人、英語と数学の両方が好きな生徒が$10$人いる。

$(1)\quad$ 英語または数学の少なくともどちらか一方が好きな生徒は何人か。

$(2)\quad$ 英語も数学もどちらも好きではない生徒は何人か。

$(3)\quad$ 英語だけが好きな生徒は何人か。

解説

集合の要素の個数について解説します。

集合の要素の個数って、どうやって数えるんですか？

いい質問だね！集合の個数を数えるときに使う便利な公式があるんだ。

まずは公式を確認してから、ベン図を使って理解していこう！

集合$A$の要素の個数を$n(A)$と表します。$2$つの集合$A$, $B$の和集合$A \cup B$の要素の個数について、次の公式が成り立ちます。

なぜ引くんですか？

$n(A)$の中には$A \cap B$の要素が含まれているし、$n(B)$の中にも$A \cap B$の要素が含まれているよね。

だから単純に足すと$A \cap B$の部分が$\textcolor{red}{\text{2回}}$数えられてしまうんだ。

ベン図で見ると一目瞭然だよ！

ベン図で確認してみましょう。$n(A)$と$n(B)$を足したとき、重なっている部分（$A \cap B$）が二重に数えられていることがわかります。

このように、$n(A) + n(B)$とすると$A \cap B$の部分を$2$回数えてしまうので、$1$回分引くわけですね。

また、全体集合$U$に対して、$A$にも$B$にも属さない要素の個数（$A \cup B$の補集合）は次のようになります。

それでは問題を解いていきましょう。

英語が好きな生徒の集合を$A$、数学が好きな生徒の集合を$B$とすると、問題の条件は以下のようになります。

ベン図に各領域の人数を書き込むと次のようになります。

「少なくともどちらか一方が好き」は$A \cup B$のことだね。包除原理を使おう！

包除原理より、

「どちらも好きではない」はベン図のどこですか？

ベン図で$A$にも$B$にも入っていない部分、つまり$\textcolor{red}{\text{外側}}$の部分だよ。

これは$\overline{A \cup B}$（$A \cup B$の補集合）と表せるね。

全体から$A \cup B$を引けばよいので、

「英語だけが好き」というのは、英語は好きだけど数学は好きではない生徒のことだね。

つまり、$A$から$A \cap B$を除いた部分だよ。

$A$だけの部分は$n(A) - n(A \cap B)$で求められるので、

ベン図を描くと、どの部分を求めるか一目でわかりますね！

その通り！集合の問題ではベン図を描くのが鉄則だよ。

最後に、$3$つの集合の場合の公式も紹介しておくね。

$3$つの集合$A$, $B$, $C$の和集合についても、同じ考え方で公式が作れます。

$2$集合のときと似ていますが、最後に足すのはなぜですか？

各$n(A)$, $n(B)$, $n(C)$を足すと、$2$つずつの重なりが$\textcolor{red}{2\text{回}}$数えられる。

そこで$n(A \cap B)$, $n(B \cap C)$, $n(A \cap C)$を引くんだけど、今度は$3$つ全部の重なり$A \cap B \cap C$を引きすぎてしまうんだ。

だから最後に$n(A \cap B \cap C)$を$\textcolor{red}{1\text{回足す}}$ことで調整するんだよ。

ここでは集合の要素の個数を求める「包除原理」について学習しました。

$2$集合の公式 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ は場合の数の問題で頻出です。

ベン図を描いて各領域の人数を整理する習慣をつけましょう！