順列

問題

先生$3$人と生徒$4$人の計$7$人が$1$列に並ぶ時、 次のような並び方は何通りあるか。

$(1)$ 全ての並び方

$(2)$ 先生3人が隣り合う

$(3)$ 先生と生徒が交互に並ぶ

解説

順列の問題について解説していきます。

はじめに、順列の公式を確認しておきましょう。

今回の問題では、「異なる$7$人から$7$人取り出して並べる」というように考えれば良いので、${}_7 \mathrm{P}_7=7!と$なります。

$0!=1$であることに注意してください。

順列は「異なる」$n$個の中から取り出すって書いてありますが、異なるとかそういうのがいまいちよくわかりません。

場合の数の問題では、並べるものとして「人」「モノ」「文字」がよく出てくるよ。

以下のポイントをおさえておこう。

今回の例題では、「人」が並ぶので区別するんですね！

これらを頭に入れつつ、次の問題を見ていきましょう！

並び替える問題で「隣り合う」というワードが出てきたときは、隣り合う人同士をまとめて$1$つのかたまりとして考えます。

今回の場合であれば、先生を$3$人まとめて「$1$つのかたまり」と考えましょう。

すると生徒$4$人と$1$つのかたまりの並び方を求めれば良いので${ {}_5 \mathrm{P}_5=5!}と$なります。

異なる$n$個を全部並べる時の順列の総数は$n!$になるよ。覚えておこう！

そして、先生$3$人を$1$つのかたまりと考えていたのでそのかたまりの中での先生の並び方は$3!$となります。

よって、問われていた先生3人が隣り合うときの並び方は$5! \times 3! =120 \times 6 = \underline{720通り}$となります。

先生と生徒の人数に注目してみましょう。

生徒の間に先生が入ればいいですね。

その通り！先生が隣り合わないためには生徒の間に入るしかないよね。

生徒を$○$、先生を$△$と表すとすると、$○△○△○△○$というようになればいいことがわかります。

生徒と先生を別々に考えていきましょう。

$○$（生徒）の並び方は$4!$で、$△$（先生）の並び方は$3!$となります。

よって、並び方は$4! \times 3! = \underline{144通り}$となります。

別々に考えると、生徒同士と先生同士でそれぞれ間が空いているけど気にせずに生徒と先生で分けて考えよう。

ここでは順列の問題について解説しました。

先ほど説明したように、場合の数の問題を解く時は区別するのかしないのかを理解しておくことでスムーズに問題を解くことができます。

問題を多く解いて慣れていきましょう！