和が5と和が10を別々に数えるのはなぜ？

和の法則・積の法則では、場合の数について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

2つのサイコロの出方を順序つきで数えるコツは？

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和の法則と積の法則の使い分けを教えて

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和の法則・積の法則の解き方 | 数学Aの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

和の法則・積の法則の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

場合の数の基本原理の答えと条件を先に確認できます。

テーマ: 場合の数の基本原理
ポイント: 場合の数の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

$(1)\quad$ 大小 $2$ つのサイコロを同時に投げるとき、目の和が $5$ または $10$ になる場合の数を求めよ。

$(2)\quad$ $3$ つの街 $\text{A}$ , $\text{B}$ , $\text{C}$ がある。 $\text{A}$ から $\text{B}$ への道が $3$ 通り、 $\text{B}$ から $\text{C}$ への道が $2$ 通りあるとき、 $\text{A}$ から $\text{C}$ への行き方は何通りあるか。

$(3)\quad$ $3$ つの街 $\text{A}$ , $\text{B}$ , $\text{C}$ がある。 $\text{A}$ から $\text{B}$ への道が $3$ 通り、鉄道が $2$ 通りある。 $\text{B}$ から $\text{C}$ への道が $4$ 通り、鉄道が $1$ 通りあるとき、 $\text{A}$ から $\text{C}$ への行き方は何通りあるか。

答えを見る

$(1)\;$ $\underline{7\text{通り}}$

$(2)\;$ $\underline{6\text{通り}}$

$(3)\;$ $\underline{25\text{通り}}$

解説

場合の数の基本である「和の法則」と「積の法則」について解説します。

「和の法則」と「積の法則」って何ですか？

場合の数を数えるときの $2$ つの基本ルールだよ。

まずはそれぞれの法則を確認してから、問題を解いてみよう！

和の法則は「 $\textcolor{red}{\text{または}}$ 」「 $\textcolor{red}{\text{どちらか}}$ 」のように、 $\textcolor{red}{別々の場合を合わせる}$ ときに使います。

積の法則は「 $\textcolor{red}{\text{かつ}}$ 」「 $\textcolor{red}{\text{続けて}}$ 」のように、 $\textcolor{red}{組み合わせて起こる}$ ときに使います。

足すのか掛けるのか、どう見分ければいいですか？

「場合を $\textcolor{red}{\text{合わせる}}$ 」なら $\textcolor{red}{\text{足し算}}$ 、「場合を $\textcolor{red}{\text{組み合わせる}}$ 」なら $\textcolor{red}{\text{掛け算}}$ と覚えよう！

では、問題を解きながら確認していこうね。

$(1)\quad$ 大小 $2$ つのサイコロを同時に投げるとき、目の和が $5$ または $10$ になる場合の数を求めよ。

まず「和が $5$ になる場合」と「和が $10$ になる場合」を別々に考えてみましょう。

和が $5$ になるのは、 $(\text{大}, \text{小})=$

(1, 4),\;(2, 3),\;(3, 2),\;(4, 1)

の $4$ 通りです。

和が $10$ になるのは、 $(\text{大}, \text{小})=$

(4, 6),\;(5, 5),\;(6, 4)

の $3$ 通りです。

「和が $5$ 」と「和が $10$ 」は同時に起こらないね。

つまり、 $\textcolor{red}{\text{和の法則}}$ が使えるよ！

「和が $5$ 」 $\textcolor{red}{\text{または}}$ 「和が $10$ 」なので、和の法則より

4 + 3 = \underline{7\text{通り}}

$(2)\quad$ $3$ つの街 $\text{A}$ , $\text{B}$ , $\text{C}$ がある。 $\text{A}$ から $\text{B}$ への道が $3$ 通り、 $\text{B}$ から $\text{C}$ への道が $2$ 通りあるとき、 $\text{A}$ から $\text{C}$ への行き方は何通りあるか。

$\text{A}$ から $\text{C}$ に行くには、 $\text{A} \to \text{B}$ と $\text{B} \to \text{C}$ を $\textcolor{red}{\text{続けて}}$ 行う必要があります。

「続けて」だから、積の法則を使えばいいんですね！

その通り！ $\text{A} \to \text{B}$ の $3$ 通りの各々に対して、 $\text{B} \to \text{C}$ が $2$ 通りあるからね。

積の法則より、

3 \times 2 = \underline{6\text{通り}}

$(3)\quad$ $3$ つの街 $\text{A}$ , $\text{B}$ , $\text{C}$ がある。 $\text{A}$ から $\text{B}$ への道が $3$ 通り、鉄道が $2$ 通りある。 $\text{B}$ から $\text{C}$ への道が $4$ 通り、鉄道が $1$ 通りあるとき、 $\text{A}$ から $\text{C}$ への行き方は何通りあるか。

この問題では、 $\textcolor{red}{\text{和の法則と積の法則の両方}}$ を使います。

まずは各区間の行き方を整理してから、全体を考えよう。

まず、 $\text{A}$ から $\text{B}$ への行き方は、道 $3$ 通り $\textcolor{red}{\text{または}}$ 鉄道 $2$ 通りなので、

和の法則より、 $3 + 2 = 5\text{通り}$

次に、 $\text{B}$ から $\text{C}$ への行き方は、道 $4$ 通り $\textcolor{red}{\text{または}}$ 鉄道 $1$ 通りなので、

和の法則より、 $4 + 1 = 5\text{通り}$

$\text{A}$ から $\text{C}$ に行くには、 $\text{A} \to \text{B}$ と $\text{B} \to \text{C}$ を $\textcolor{red}{\text{続けて}}$ 行うので、

積の法則より、 $5 \times 5 = \underline{25\text{通り}}$

和の法則で各区間をまとめてから、積の法則で全体を求めるんですね！

その通り！このように、和と積の法則を組み合わせて使う問題は多いから、しっかり練習しておこう。

このページのまとめ

ここでは場合の数の基本である「和の法則」と「積の法則」について学習しました。

「 $\textcolor{red}{\text{または}}$ 」→ 足す（和の法則）、「 $\textcolor{red}{\text{続けて}}$ 」→ 掛ける（積の法則）と覚えましょう。

この $2$ つの法則は場合の数・確率のすべての基礎になるので、しっかりマスターしてくださいね！

先に押さえておくこと

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