同じものを含む順列

問題

$(1)\quad$ $\text{a, a, b, b, b, c}$ の$6$文字を$1$列に並べる方法は何通りあるか。

$(2)\quad$ $\text{MISSISSIPPI}$ の$11$文字を$1$列に並べる方法は何通りあるか。

解説

同じものを含む順列の問題について解説します。

「同じものを含む順列」って、普通の順列とは違うんですか？

いい質問だね。普通の順列は「異なるもの」を並べるけど、今回は「同じもの」が混ざっているんだ。

同じものがあると、入れ替えても同じ並びになるから、その分だけ割ってあげる必要があるよ。

まず公式を確認しましょう。

なぜ割り算するんですか？

例えば a, a, b の$3$文字を並べることを考えてみよう。

もし$2$つの a を区別して $\text{a}_1$, $\text{a}_2$ とすると、$3!=6$通りの並べ方ができるよね。

区別した場合の$6$通りを書き出してみると、

ここで区別をなくすと、$\text{a}_1\text{a}_2\text{b}$ と $\text{a}_2\text{a}_1\text{b}$ は同じ「aab」になりますね。

つまり、$2$つの a の入れ替え（$2!=2$通り）ずつ同じものが生まれるので、$\dfrac{3!}{2!}=3$通りとなります。

なるほど！同じものの入れ替え分で割るんですね！

その通り！この考え方が公式の本質だよ。それでは問題を解いていこう。

まず、各文字が何個あるかを数えましょう。

・ a が$2$個

・ b が$3$個

・ c が$1$個

・ 合計$6$個

公式に当てはめると、

$1$個しかない文字の $1!$ は $1$ なので計算に影響しないけど、公式の形に沿って書いておくと分かりやすいよ。

MISSISSIPPI は有名な問題です。まず各文字を丁寧に数えましょう。

文字の数え間違いに注意しよう！1文字ずつ確認するのがコツだよ。

$\text{M-I-S-S-I-S-S-I-P-P-I}$ と$1$文字ずつ確認すると、

・ M が$1$個

・ I が$4$個

・ S が$4$個

・ P が$2$個

・ 合計$1+4+4+2=11$個

合計が$11$になったので、数え間違いはなさそうですね！

公式に当てはめて計算しましょう。

計算のコツとして、いきなり大きな数同士で割り算するのではなく、途中で約分しながら計算するとミスが減るよ。

例えば $\dfrac{11!}{4!\cdot 4!\cdot 2!}=\dfrac{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4!\cdot 2!}$ のように分子を途中まで展開して約分する方法もあるよ。

なるほど、約分しながら計算すれば楽になりますね！

ここでは同じものを含む順列の問題について学習しました。

ポイントは「全体の $n!$ を、同じものの個数の階乗で割る」ということです。

文字の数え間違いに気を付けて、確実に解けるように練習してくださいね！