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極限

数列の極限③

はさみうちの原理

極限の「数列の極限③」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「はさみうちの原理」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅲ 約6分 難易度 1

このページのまとめ

先に押さえておくこと

数列の極限③の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

はさみうちの原理の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: はさみうちの原理
  • ポイント: 極限の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の極限を求めよ。

lim⁡n→∞sin⁡nθn\large \lim_{n \to ∞}\frac{\sin n\theta}{n}

答えを見る

lim⁡n→∞sin⁡nθn\large \lim_{n \to ∞}\frac{\sin n\theta}{n} =0‾\Large =\underline{0}

解説

極限の問題を解説します。

n→∞n \to ∞のとき分母は∞∞となりますね。

−1≦sin⁡nθ≦1-1\leqq \sin n\theta \leqq 1だから分子は振動することが分かるね。

分母が大きくなっていくので直感的には0に収束しそうです。どうやって解けばいいですか？

この例題のように、振動する関数が入っている極限を考えるときは「はさみうちの原理」を使うことが多いよ。

数列bnとcn{ b_n}と{ c_n}はどこから来るんですか？

それは自分で用意する必要があるんだ。

今回の例題であれば、sin⁡nθの\sin n\thetaの範囲から不等式を立てることができるよ。

はさみうちの原理が使えるのは、不等式を上手く立てられる場合のみに限ります。

つまり、常に値の範囲が決まっている三角関数や、値の範囲が決まっているガウス記号などの入った極限を考える際に有効であることを覚えておきましょう。

それでは、はさみうちの原理を使って問題を解いていきます！

次の極限を求めよ。

lim⁡n→∞sin⁡nθn\large \lim_{n \to ∞}\frac{\sin n\theta}{n}

まずはsin⁡nθ\sin n\thetaの範囲を書き出すと−1≦sin⁡nθ≦1-1\leqq \sin n\theta \leqq 1となります。

sin⁡nθn\frac{\sin n\theta}{n}の形に持っていくために、−1≦sin⁡nθ≦1-1\leqq \sin n\theta \leqq 1をnnで割ると−1n≦sin⁡nθn≦1n-\frac{1}{n} \leqq \frac{\sin n\theta}{n} \leqq \frac 1 nとなりますね。

ここで、lim⁡n→∞(−1n)\lim_{n \to ∞}\left (-\frac{1}{n}\right ) =lim⁡n→∞1n=0= \lim_{n\to ∞}\frac{1}{n}=0なので、はさみうちの原理よりlim⁡n→∞sin⁡nθn=0‾\lim_{n\to ∞}\frac{\sin n\theta}{n} = \underline{0}となります。

このページのまとめ

ここでは極限の問題について解説しました。

はさみうちの原理は、慣れるまでは難しく感じるかもしれませんが数学Ⅲでは頻出です。

三角関数やガウス記号の入った極限を考える際は、すぐに思いつけるようになっておきましょう！

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