数列の極限②

問題

次の数列の極限を求めよ。

解説

数列の極限の問題について解説します。

$n\to ∞$とすると$∞-∞$の不定形になっていますね。

そうだね。どのように考えればいいか分かるかな？

$\sqrt{n^2+3n}>nなので∞に$発散するような気がします。

たしかに直感的にはそう考えてしまいそうになるけれど実際は∞ではなくある値に収束するんだ。

この問題のように$∞-∞$の不定形になっている極限を見たら「有理化」をしよう。

この例題のように、分数になってない場合は分母に1があると考えて分子の有理化を行うよ。

それでは実際に問題を見ていきます。

$n\to ∞$とすると、$∞-∞$の不定形になっているので分母に$1$があると考えて分子の有理化を行いましょう。分母と分子に${ \sqrt{n^2+3n}+n}$をかけると

$\lim_{n \to ∞}\frac{(\sqrt{n^2+3n}-n)(\sqrt{n^2+3n}+n)}{\sqrt{n^2+3n}+n}$となるのでこれを整理して $=\lim_{n \to ∞}\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}$

分子の有理化を行うことで$∞-∞$の不定形から$\frac{∞}{∞}の$不定形へと変わったね。

こういうときは分母の最高次数の項で分母と分子を割ればいいんでしたね！

分母と分子を$nで$割ると、$\lim_{n \to ∞}\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}$ $=\lim_{n \to ∞}\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}$ $=\frac{3}{\sqrt{1}+1}$ $=\underline{\frac{3}{2}}$となります。

ここでは数列の極限の問題について解説しました。

$∞-∞$の不定形の極限を見たときは有理化するという考え方がすぐに思い浮かべるようになるといいですね。

色々な問題を解いて数列の極限をマスターしてくださいね！