関数の極限①

問題

次の極限を求めよ。

解説

関数の極限の問題について解説します。

数列の極限の問題と似てますね。何が違うんですか？

数列の極限では$x\to ∞$としたときの値を考えていたよね。

関数の極限ではそれだけではなく$x\to 0$や$x\to 1$とした場合なども考えていくよ。

なるほど。基本的な考え方は同じですか？

そうだね。まずは不定形かどうか確認して、不定形であればそれを解消していこう。

それでは問題を通して解法を見ていきましょう。

$x\to 0$としてみると、$\frac{0}{0}$となっているため不定形ですね。

不定形を解消することを考えよう。この問題であれば有理化するのが良さそうだね。

分母と分子に$\sqrt{1+x^2}+1$をかけると

$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}$ $=\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x^2}-1)(\sqrt{1+x^2}+1)}{x^2(\sqrt{1+x^2}+1)}$$=\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{x^2(\sqrt{1+x^2}+1)}$ $=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+1}$ $=\underline{\frac{1}{2}}$となります。

有理化して解きましたが、他に不定形の解消方法はありますか？

$\frac{0}{0}$の不定形となっているときは、分母と分子が因数分解できて約分することによって不定形が解消されるようなパターンもあるから覚えておこう。

それでは次の問題を見ていきます。

この問題はどのように考えるかな？

$x\to -∞$としてみると$-∞+∞$となるので不定形ですね。分子の有理化を行いたいところです。

考え方はバッチリだね。だけど、1つ覚えておいて欲しいテクニックがあるんだ。

実際に$t=-x$とおいて考えていきましょう。

$\lim_{x \to -∞}(2x+\sqrt{4x^2-3x})$で$t=-x$とおくと、$x\to -∞$のとき$t\to ∞$なので$\lim_{t\to ∞}(-2t+\sqrt{4t^2+3t})$となります。

なぜこのようにするといいんですか？

この置き換えをせずに解いていった場合に起きやすいミスがあるから、それを説明していくね。

少し話が逸れるけど、$x<0$のときの$\sqrt{x^2}$の値はなにか分かるかな？

$x<0$のとき、$\sqrt{x^2}=-x$です。

その通り。$x\to -∞$とするときは$x<0$だから、ルートの式が出てきたときは符号に注意しなければならないんだ。

最初に$t=-x$とおくことによって、符号に注意する必要が無くなるからそうやって解くのがおすすめだよ。

分かりました！

$t=-x$とおいた$\lim_{t\to ∞}(-2t+\sqrt{4t^2+3t})$を考えていきましょう。

$t\to ∞$とすると$∞-∞$の不定形となっているので、有理化します。

と変形できますね。$\frac{∞}{∞}$の不定形なので、分母と分子をそれぞれ$t$で割ると$\lim_{t\to ∞}\frac{3t}{2t+\sqrt{4t^2+3t}}$ $=\lim_{t \to ∞}\frac{3}{2+\sqrt{4+\frac{3}{t}}}$ $=\underline{\frac{3}{4}}$となります。

ここでは関数の極限の問題について解説しました。

基本的な考え方は数列の極限と同じですが、負の無限大に近づけるときはルートの扱いに注意する必要があります。

色々な問題を解いてマスターしてくださいね！