数列の極限①

問題

次の数列の極限を求めよ。

解説

極限の問題を解説していきます。

はじめに、分数式の極限の考え方について整理しておきましょう。

それでは解説していきます。

$n \to ∞$とすると$\frac{∞}{∞}$の不定形になっているね。

不定形の極限なので分母の最高次の項で分母と分子を割りましょう。

この問題では$4n$が最高次なので、分母と分子を$nで$割って$\frac{-3+ \frac{2}{n}}{4-\frac{1}{n}}$となります。ここで、$n\to ∞$とすると求める極限は$\underline{ - \frac{3}{4} }$となります。$\phantom{\Huge 。}$

$n \to ∞$のとき$\frac{1}{n} \to 0$だよ！

分母の最高次の項が$nなので$、分母と分子を$nで$割って$\lim_{n \to ∞}\frac{n+\displaystyle \frac{1}{n}}{1+\displaystyle \frac{1}{n}}=+∞$となります。

よって、求める極限は$\underline{ +∞ }$となります。

この問題は、$分子のn$の次数の方が$分母の n$の次数より大きいよね。そういうときは$nで$割らなくても平気だよ。

$この解答では分母と分子を{\large n}で割りましたが$、問題を見たときに分母の最高次数と分子の最高次数が違うときは$nで割らずに$解答してしまってもOKです。

(もちろんどちらで解いても構いません。)

$分母の方が次数が大きいときは{\large 0}に、$ 分子の方が次数が大きい時は$\large ∞$になります。

例題$(2)$であれば、以下のように解答することもできます。

$∞$になるときは符号に気をつけてね。

ここでは分数式の極限について解説しました。

問題のパターン慣れるまで色々な問題を解いていきましょう！