sin x/x の公式はどう使い分けるの？

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の応用では、極限について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

3x や 2x が入るときはどう直すの？

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の応用では、極限について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の応用では、極限について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

このページのまとめ

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の応用の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

次の極限を求めよ。

(1)\quad \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}

(2)\quad \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}

$(1)\;$ $\underline{3}$

$(2)\;$ $\underline{\frac{2}{5}}$

三角関数の極限について解説します。

まず、最も重要な公式を確認しましょう。

なぜ $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ になるんですか？

いい質問だね！はさみうちの原理を使って証明できるんだ。

単位円を使って不等式を作るよ。

証明の概略を説明します。

\theta = 30^\circ

P\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)

\sin\theta = \frac{1}{2}

\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、単位円上で次の不等式が成り立ちます：

\sin x < x < \tan x

各辺を $\sin x$ で割ると（ $\sin x > 0$ より）、

1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}

逆数をとると（不等号の向きが反転）、

\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1

$x \to 0$ のとき $\cos x \to 1$ なので、はさみうちの原理より $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ が示されます。

なるほど！では応用問題を解いてみます！

(1)\quad \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}

基本公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の形に変形します。

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}

= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3

= 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}

$x \to 0$ のとき $3x \to 0$ だから、 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$ だよ。

したがって、

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 \cdot 1 = \underline{3}

(2)\quad \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}

分子と分母をそれぞれ基本公式の形に変形します。

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}

= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x}

= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2}{5}

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} = 1$ より、

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \underline{\frac{2}{5}}

基本公式の形に持っていくのがポイントだよ！

このページのまとめ

ここでは $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の応用について学習しました。

この公式は三角関数の微分や積分でも重要な役割を果たします。しっかりマスターしましょう！

アプリで続ける

この問題に関するよくある疑問への回答や、解法のポイントをまとめた「解法の鍵」はアプリに収録しています。類題演習やAIへの質問もアプリから使えます。$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の応用 に近い内容をそのまま続けられます。

よくある質問解法の鍵類題演習 AIに質問

ストアからダウンロードして、同じ単元の演習やAI質問をそのまま続けられます。