関数の極限②

問題

次の極限値を求めよ。

解説

関数の極限の問題を解説します。

どのように考えていくか分かるかな？

とりあえず$x\to\frac{\pi}{2}$とすると$\frac{0}{0}$の不定形になっているのでこれを解消したいですね。

そうだね。$\frac{0}{0}$の不定形が出てきたら有理化したりして変形することで不定形を解消することができたよね。けれど三角関数が入っているときはそれだけでは上手くいかないんだ。

ではどのようにして解いていけばいいんですか？

三角関数の入った極限の問題は次のように解いていこう。

1. 文字で置いて$0$に近づける
2. $\large \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を利用できる形に持っていく

実際に問題を解きながら見ていきましょう。

最初から$0$に近づいている場合はこのステップは考えなくてOKです。

${(1)}では{ x\to \frac{\pi}{2}}$としているため、これを$0$に近づけるためには$t=x-\frac{\pi}{2}$とすれば良いですね。 $t=x-\frac{\pi}{2}$とすると、$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{(2x-\pi)^2}$ $=\lim_{t \to 0}\frac{1-\sin (t+\frac{\pi}{2})}{(2t)^2}$となります。

0に近づけるように文字でおくのはなぜですか？

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を使えるようにするためだよ。この公式は$x\to 0$のときしか使えないからね。

次に $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を使える形に変形していきます。

$\sin\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=\cos t$ より$\lim_{t \to 0}\frac{1-\sin \left(t+\frac{\pi}{2}\right)}{(2t)^2}$ $=\lim_{t \to 0}\frac{1-\cos t}{4t^2}$とできますね。

でも$\sin t$なんてどこにも見当たらないです。どうやって$\frac{\sin x}{x}$の形を作るんですか？

三角関数の相互関係$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$を使って$\sin t$を作り出そう。そのために分子を有理化するようなイメージで分母と分子に$(1+\cos x )$をかけるんだ。

この変形は最初は思いつかないかもしれないけど、頻出だから覚えておこう。

分母と分子に$(1+\cos x)$をかけると、$\lim_{t \to 0}\frac{(1-\cos t)(1+\cos t)}{4t^2(1+\cos t)}$

$=\lim_{t \to 0}\frac{1-\cos^2t}{4t^2(1+\cos t)}$と変形できます。

$1-\cos^2 t=\sin^2t$より$\lim_{t \to 0}\frac{1-\cos^2t}{4t^2(1+\cos t)}$ $=\lim_{t \to 0}\frac{\sin^2t}{4t^2(1+\cos t)}$$=\lim_{t \to 0}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 \cdot \frac{1}{4(1+\cos t)}$とできるので、$\lim_{t \to 0}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 \cdot \frac{1}{4(1+\cos t)}$ $=1^2 \cdot \frac{1}{4(1+1)}$ $=\underline{\frac{1}{8}}$となります。

(1)と同様の方針で解いていきましょう。

$x\to ∞$を考えているから公式を使うために$0$に近づける極限を考えたいね。

$t=\frac{1}{x}$とおくと$x→∞$のとき$t→0$になります！

$t=\frac{1}{x}$とおくと$x→∞$のとき$t→0$となるので$\lim_{x \to ∞}x \sin\frac{1}{x}$ $= \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}$ $=\underline{1}$となります。

ここでは関数の極限の問題について解説しました。

慣れない変形かもしれませんが、公式が使える形に変形していくということが分かれば発想自体はそこまで難しくないかと思います。

式変形だけで解けない場合は「はさみうちの原理」を使うことも視野に入れておくと良いですね。

色々な問題を解いてマスターしていきましょう！