循環小数を等比級数に直す考え方は？

循環小数と無限級数では、極限について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

循環しない部分があるときはどう分けるの？

循環小数と無限級数では、極限について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

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このページのまとめ

循環小数と無限級数の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

循環小数を分数で表すの答えと条件を先に確認できます。

次の循環小数を分数で表せ。

(1)\quad 0.\dot{3}

(2)\quad 0.1\dot{2}

$(1)\;$ $\underline{\frac{1}{3}}$

$(2)\;$ $\underline{\frac{11}{90}}$

循環小数を無限等比級数を使って分数で表す問題について解説します。

循環小数は無限等比級数として表すことができます。

(1)\quad 0.\dot{3}

$0.\dot{3}$ は $0.333\cdots$ のことだよ。これを無限級数で表してみよう。

$0.\dot{3} = 0.333\cdots$ を展開すると、

0.\dot{3} = 0.3 + 0.03 + 0.003 + \cdots

= \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \cdots

これは初項 $\frac{3}{10}$ 、公比 $\frac{1}{10}$ の等比級数ですね！

その通り！公比の絶対値は $\frac{1}{10}<1$ だから、無限等比級数の公式が使えるよ。

無限等比級数の和の公式を使うと、

0.\dot{3} = \frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}

= \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}}

= \frac{3}{10} \times \frac{10}{9}

= \underline{\frac{1}{3}}

(2)\quad 0.1\dot{2}

$0.1\dot{2} = 0.1222\cdots$ を循環しない部分と循環する部分に分けて考えます。

0.1\dot{2} = 0.1 + 0.0222\cdots

= 0.1 + (0.02 + 0.002 + 0.0002 + \cdots)

循環する部分だけを等比級数として扱うよ。

循環する部分 $0.0222\cdots$ について、

0.0222\cdots = \frac{2}{100} + \frac{2}{1000} + \frac{2}{10000} + \cdots

= \frac{\frac{2}{100}}{1-\frac{1}{10}}

= \frac{\frac{2}{100}}{\frac{9}{10}}

= \frac{2}{100} \times \frac{10}{9} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}

したがって、

0.1\dot{2} = 0.1 + \frac{1}{45}

= \frac{1}{10} + \frac{1}{45}

= \frac{9}{90} + \frac{2}{90}

= \underline{\frac{11}{90}}

循環しない部分と循環する部分を分けて考えるのがポイントだよ！

このページのまとめ

ここでは循環小数を無限等比級数で表し、分数に変換する方法について学習しました。

無限等比級数の公式 $S = \frac{a}{1-r}$ をしっかり使いこなせるようにしましょう！

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