e はどうしてその極限で定義されるの？

自然対数の底 $e$では、極限について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

(1+1/n)^n を見たら e と分かるようにしたい、どう覚えればいい？

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このページのまとめ

自然対数の底 $e$の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

ネイピア数 $e$ の定義と極限の答えと条件を先に確認できます。

次の極限を求めよ。

(1)\quad \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

(2)\quad \lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}}

$(1)\;$ $\underline{e}$

$(2)\;$ $\underline{e^3}$

自然対数の底 $e$ （ネイピア数）の極限について解説します。

$e$ ってどんな数なんですか？

$e$ は約 $2.71828\cdots$ の無理数で、自然対数の底として使われるんだ。

極限で定義される特別な定数だよ。

これらの極限は同じ値に収束し、それが $e$ の定義になっています。

(1)\quad \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

これは $e$ の定義そのものです。

$n$ が大きくなるにつれて、 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ の値は次のように変化します：

n=1: \;\left(1+1\right)^1 = 2

n=10: \;\left(1+\frac{1}{10}\right)^{10} \approx 2.594

n=100: \;\left(1+\frac{1}{100}\right)^{100} \approx 2.705

n=1000: \;\left(1+\frac{1}{1000}\right)^{1000} \approx 2.717

$2.71\cdots$ に近づいていきますね！

したがって、 $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \underline{e}$

(2)\quad \lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}}

基本形 $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ に変形します。

$3x$ を1つの変数とみなすために、 $t=3x$ と置換してみよう。

$t = 3x$ とおくと、 $x = \frac{t}{3}$ であり、 $x \to 0$ のとき $t \to 0$ です。

\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}}

= \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{\frac{t}{3}}}

= \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{3}{t}}

= \lim_{t \to 0} \left[(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^3

= \left[\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^3

= e^3

したがって、 $\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{1}{x}} = \underline{e^3}$

一般に $\lim_{x \to 0} (1+ax)^{\frac{1}{x}} = e^a$ だよ！

このページのまとめ

ここでは自然対数の底 $e$ の定義と極限の応用について学習しました。

$e$ は数学の様々な分野で現れる重要な定数です。極限の基本形をしっかり覚えましょう！

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