中間値の定理

問題

方程式$x^3 - x - 1 = 0$は、$1$と$2$の間に少なくとも1つの実数解をもつことを証明せよ。

解説

中間値の定理について解説します。

中間値の定理は、連続関数の重要な性質の1つで、方程式の解の存在証明に使われます。

これって、グラフが連続なら途中の値を必ず通るってことですか？

その通り！グラフが途切れずに繋がっていれば、$f(a)$から$f(b)$まで移動する途中で、

すべての中間の値を通過するという当たり前のようで重要な定理なんだ。

視覚的にイメージすると、次のようになります。

$f(x) = x^3 - x - 1$のグラフを見ると、$x=1$で負、$x=2$で正の値をとり、その間でx軸と交わることが視覚的にわかります。

それでは、中間値の定理を使って証明を進めていこう。

証明の方針:

• $f(x) = x^3 - x - 1$とおく

• $f(1)$と$f(2)$の符号を調べる

• 符号が異なれば、中間値の定理より解が存在

なるほど、端点での値の符号が違えばいいんですね。

それでは計算していきます。

$f(x) = x^3 - x - 1$とおきます。

$f(x)$は多項式関数なので、実数全体で連続です。

$x=1$における値:

$x=2$における値:

$f(1) < 0$、$f(2) > 0$だから、符号が変わっているね！

$f(x)$は区間$[1, 2]$で連続で、$f(1) = -1 < 0$、$f(2) = 5 > 0$より、

中間値の定理から、$f(c) = 0$となる$c$が$1 < c < 2$の範囲に少なくとも1つ存在します。

したがって、方程式$x^3 - x - 1 = 0$は$1$と$2$の間に少なくとも1つの実数解をもつことが証明されました。$\quad \square$

解の具体的な値は求めなくても、存在だけは示せるんですね！

そうだよ。3次方程式の解を厳密に求めるのは難しいけれど、

中間値の定理を使えば「解がある」ことだけは簡単に証明できるんだ。

ちなみに、この方程式の実際の解は約$c \approx 1.3247...$だよ。

でも、証明では具体的な値は必要ないんだ。

ここでは中間値の定理について学習しました。

この定理は、方程式の解の存在証明や、関数の性質を調べる際に非常に強力な道具となります。

「連続関数は中間の値を必ず通る」という直感的なイメージを持ちながら、証明の手順をしっかり身につけてくださいね！