無限等比級数の和が a/(1-r) になるのはなぜ？

無限等比級数の和では、極限について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

|r|<1 を先に確認する理由は？

無限等比級数の和では、極限について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

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このページのまとめ

無限等比級数の和の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

公式 $\frac{a}{1-r}$ の適用の答えと条件を先に確認できます。

次の無限等比級数の和を求めよ。

(1)\quad 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots

(2)\quad \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}

(1)\; \underline{2}

(2)\; \underline{\frac{9}{5}}

無限等比級数の和について解説します。

有限等比級数の公式と似ていますね。

そうだね。有限等比級数の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ で、 $n \to \infty$ として $r^n \to 0$ の極限を取ると、この公式になるんだ。

それでは各問題を見ていきましょう。

(1)\quad 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots

まず、初項と公比を確認します。

初項： $a = 1$

公比： $r = \frac{1}{2}$ （第2項 ÷ 第1項）

$|r| = \frac{1}{2} < 1$ なので、この級数は収束します。

公式を使って和を求めます：

S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = \underline{2}

1 に $\frac{1}{2}$ を足して、さらに $\frac{1}{4}$ を足して...と無限に続けると、ちょうど 2 になるんだよ。

(2)\quad \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}

$n=1$ から始まっているので、第1項、第2項を書き出して確認します：

$n=1$ のとき： $3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{0} = 3$

$n=2$ のとき： $3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{1} = 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -2$

よって、初項と公比は：

初項： $a = 3$

公比： $r = -\frac{2}{3}$

$|r| = \frac{2}{3} < 1$ なので、この級数は収束します。

公式を使って和を求めます：

S = \frac{a}{1-r} = \frac{3}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{3}{1+\frac{2}{3}} = \frac{3}{\frac{5}{3}} = 3 \cdot \frac{3}{5} = \underline{\frac{9}{5}}

公比が負の数でも公式は使えるんですね！

そうだよ。大事なのは $|r| < 1$ という条件だね。

符号の処理に注意すれば、負の公比でも問題なく使えるよ。

このページのまとめ

ここでは無限等比級数の和について学習しました。

公式 $S = \frac{a}{1-r}$ は $|r| < 1$ のときに使えます。

初項と公比を正しく見つけることがポイントです。

特に、 $\sum$ の添え字が $n=1$ から始まるか $n=0$ から始まるかに注意しましょう！

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