$r^n$ の極限を公比だけで判定するコツは？

無限等比数列の極限では、極限について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

$1^n$ だけが特別に1へ行くのはなぜ？

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このページのまとめ

無限等比数列の極限の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

公比$r$による収束・発散の分類の答えと条件を先に確認できます。

次の数列の極限を求めよ。ただし、発散する場合は「発散」と答えよ。

(1)\quad \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n

(2)\quad \lim_{n \to \infty} 1^n

(3)\quad \lim_{n \to \infty} 2^n

(4)\quad \lim_{n \to \infty} (-1)^n

(1)\; \underline{0}

(2)\; \underline{1}

$(3)\; \underline{+\infty}$ （発散）

(4)\; \underline{発散}

無限等比数列の極限について解説します。

等比数列 $r^n$ の極限は、公比 $r$ の値によって収束したり発散したりします。

公比が -1 以下のときは振動するんですね。

そうだよ。例えば $(-1)^n$ は 1, -1, 1, -1, ... と交互に変化して、ある値に近づかないんだ。

それでは各問題を見ていきましょう。

(1)\quad \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n

公比 $r = \frac{1}{2}$ です。

$|r| = \frac{1}{2} < 1$ なので、極限は $\underline{0}$ に収束します。

$\frac{1}{2}$ を何回もかけると、どんどん小さくなっていくイメージだね。

(2)\quad \lim_{n \to \infty} 1^n

公比 $r = 1$ です。

$1^n = 1$ （何乗しても 1）なので、極限は $\underline{1}$ に収束します。

(3)\quad \lim_{n \to \infty} 2^n

公比 $r = 2$ です。

$r > 1$ なので、 $n$ が大きくなるにつれて $2^n$ は限りなく大きくなります。

よって、極限は $\underline{+\infty}$ です（正の無限大に発散）。

(4)\quad \lim_{n \to \infty} (-1)^n

公比 $r = -1$ です。

$(-1)^n$ は $n$ が偶数のとき 1、奇数のとき -1 となるため、

1, -1, 1, -1, ... と振動し、ある値に収束しません。

よって、この数列は $\underline{発散}$ します。

公比の絶対値が 1 より大きいか小さいかで判断すればいいんですね！

その通り！公比 $r$ の値によって収束・発散が決まるから、しっかり覚えておこう。

このページのまとめ

ここでは無限等比数列 $r^n$ の極限について学習しました。

公比 $r$ の値によって収束・発散が決まります。

$|r|<1$ なら 0 に収束、 $r=1$ なら 1 に収束、 $r>1$ なら $+\infty$ に発散、 $r \leqq -1$ なら振動して発散します。

この分類をしっかりマスターしてくださいね！

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