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極限

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$

指数関数の極限公式

極限の「$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「指数関数の極限公式」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅲ 約8分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

指数関数の極限公式の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 指数関数の極限公式
  • ポイント: 極限の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

次の極限を求めよ。

(1)lim⁡x→0e2x−1x(1)\quad \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}
(2)lim⁡x→0ex−e−xx(2)\quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}

答えを見る

(1)  (1)\; 2‾\underline{2}

(2)  (2)\; 2‾\underline{2}

解説

指数関数の極限について解説します。

この公式はどうやって証明するんですか？

eeの定義lim⁡h→0(1+h)1h=e\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = eを使って導けるよ。

詳しく見ていこう！

証明の概略を説明します。

y=ex−1xy = \frac{e^x - 1}{x}とおくと、ex=1+xye^x = 1 + xyです。

x→0x \to 0のときy→?y \to ?を求めます。

ex=1+xye^x = 1 + xyの両辺の対数をとると、

x=ln⁡(1+xy)x = \ln(1 + xy)

t=xyt = xyとおくと、x→0x \to 0のときt→0t \to 0であり、

y=tx=tln⁡(1+t)y = \frac{t}{x} = \frac{t}{\ln(1+t)}
=1ln⁡(1+t)t= \frac{1}{\frac{\ln(1+t)}{t}}

t→0t \to 0のときln⁡(1+t)t→1\frac{\ln(1+t)}{t} \to 1（導関数の定義より）なので、

lim⁡x→0ex−1x=lim⁡t→01ln⁡(1+t)t=11=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{\ln(1+t)}{t}} = \frac{1}{1} = 1

なるほど！では応用問題を解いてみます！

(1)lim⁡x→0e2x−1x(1)\quad \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}

基本公式lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1の形に変形します。

lim⁡x→0e2x−1x\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}
=lim⁡x→0e2x−12x⋅2= \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{2x} \cdot 2
=2⋅lim⁡x→0e2x−12x= 2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{2x}

x→0x \to 0のとき2x→02x \to 0だから、lim⁡x→0e2x−12x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{2x} = 1だよ。

したがって、

lim⁡x→0e2x−1x=2⋅1=2‾\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x} = 2 \cdot 1 = \underline{2}
(2)lim⁡x→0ex−e−xx(2)\quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}

分子を2つの項に分けて、それぞれ基本公式を適用します。

lim⁡x→0ex−e−xx\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}
=lim⁡x→0(ex−1x+1−e−xx)= \lim_{x \to 0} \left(\frac{e^x - 1}{x} + \frac{1 - e^{-x}}{x}\right)
=lim⁡x→0ex−1x+lim⁡x→01−e−xx= \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{-x}}{x}

第1項はlim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1です。

第2項について、t=−xt = -xとおくと、x→0x \to 0のときt→0t \to 0であり、

lim⁡x→01−e−xx\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{-x}}{x}
=lim⁡t→01−et−t= \lim_{t \to 0} \frac{1 - e^{t}}{-t}
=lim⁡t→0et−1t= \lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t}
=1= 1

したがって、

lim⁡x→0ex−e−xx=1+1=2‾\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x} = 1 + 1 = \underline{2}

双曲線関数sinh⁡x=ex−e−x2\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}の導関数にも関連しているよ！

このページのまとめ

ここではlim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1の応用について学習しました。

この公式は指数関数の微分公式(ex)′=ex(e^x)' = e^xの導出にも使われる重要な極限です。しっかりマスターしましょう！

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