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極限

関数の連続性

連続の定義と不連続点

極限の「関数の連続性」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「連続の定義と不連続点」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅲ 約10分 難易度 1 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

関数の連続性の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: 連続の定義と不連続点
  • ポイント: 極限の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の関数について、x=1x=1における連続性を調べよ。

(1)f(x)={x2(x≠1)2(x=1)(1)\quad f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \neq 1) \\ 2 & (x=1) \end{cases}
(2)g(x)={x+1(x<1)3(x≧1)(2)\quad g(x) = \begin{cases} x+1 & (x < 1) \\ 3 & (x \geqq 1) \end{cases}

答えを見る

(1)  (1)\; x=1x=1において 不連続‾\underline{不連続}

(2)  (2)\; 左側極限=2=2、右側極限=3=3で一致しないためlim⁡x→1g(x)\displaystyle \lim_{x \to 1} g(x)は存在しない。よってx=1x=1において 不連続‾\underline{不連続}

解説

関数の連続性について解説します。

関数の連続性は微積分学の基本的な概念で、グラフが「途切れない」「飛び跳ねない」ことを数学的に厳密に定義したものです。

3つの条件すべてが必要なんですね。

そうだよ。どれか1つでも満たさなければ、その点で不連続になるんだ。

それでは例題を見ていこう。

(1)f(x)={x2(x≠1)2(x=1)(1)\quad f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \neq 1) \\ 2 & (x=1) \end{cases}

まず、連続性の3つの条件を順に確認します。

1.  1.\; f(1)=2f(1)=2 より、f(1)f(1)は定義されている ✓

2.  2.\; lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1x2=1\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} x^2 = 1 より、極限は存在する ✓

3.  3.\; lim⁡x→1f(x)=1≠2=f(1)\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 1 \neq 2 = f(1) より、条件3を満たさない ✗

条件3が満たされないので、x=1x=1において不連続‾\underline{不連続}だね。

グラフで確認すると、x=1x=1で点が飛び離れていることがわかります。

f(1)=2

(1)(1)ではx=1x=1において、極限値は1ですが関数の値は2なので、グラフに「穴」と「飛び離れた点」が生じます。

(2)g(x)={x+1(x<1)3(x≧1)(2)\quad g(x) = \begin{cases} x+1 & (x < 1) \\ 3 & (x \geqq 1) \end{cases}

この問題では、定義がx=1x=1の前後で異なるので、**右側極限**と**左側極限**を別々に調べる必要があります。

区間ごとに分かれている場合は、両側から調べるんですね。

それでは計算していきます。

lim⁡x→1−0g(x)=lim⁡x→1−0(x+1)=2\displaystyle \lim_{x \to 1-0} g(x) = \lim_{x \to 1-0} (x+1) = 2
lim⁡x→1+0g(x)=lim⁡x→1+03=3\displaystyle \lim_{x \to 1+0} g(x) = \lim_{x \to 1+0} 3 = 3

g(1)=3g(1) = 3 （x≧1x \geqq 1の定義より）

左側極限が22、右側極限が33で、値が異なっているね。

右側極限と左側極限が一致しないということは、lim⁡x→1g(x)\displaystyle \lim_{x \to 1} g(x)は存在しないんだ。

連続性の確認:

1.  1.\; g(1)=3g(1)=3で定義されている ✓

2.  2.\; lim⁡x→1−0g(x)=2≠3=lim⁡x→1+0g(x)\displaystyle \lim_{x \to 1-0} g(x) = 2 \neq 3 = \lim_{x \to 1+0} g(x) より、lim⁡x→1g(x)\displaystyle \lim_{x \to 1} g(x)は存在しない ✗

条件2「極限値が存在する」が満たされないので、x=1x=1において不連続‾\underline{不連続}だよ。

右側極限はg(1)=3g(1)=3と一致していますが、それでも不連続なんですか？

いい質問だね。lim⁡x→1+0g(x)=3=g(1)\displaystyle \lim_{x \to 1+0} g(x) = 3 = g(1)なので、x=1x=1で**右連続**ではあるんだ。

でも「連続」というためには、左右両方の極限が一致してlim⁡x→1g(x)\displaystyle \lim_{x \to 1} g(x)が存在しなければいけない。

右連続だけでは連続とは言えないんだよ。

よって、g(x)g(x)はx=1x=1において不連続‾\underline{不連続}です。グラフで見ると、x=1x=1で「跳び」が生じています。

2 g(1)=3
このページのまとめ

ここでは関数の連続性について学習しました。

連続性の3つの条件を確認すること、特に条件2では左側極限と右側極限の一致を調べることがポイントです。

(1)(1)は極限値と関数値が一致しない例（条件3の不成立）、(2)(2)は左右の極限が一致せず極限自体が存在しない例（条件2の不成立）でした。

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