y軸まわりで x を y の関数に直すのはなぜ？

回転体の体積（y軸回り）では、積分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

x=√y にしたあと積分区間はどう決めるの？

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このページのまとめ

回転体の体積（y軸回り）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

曲線 $y = x^2 \; (0 \leqq x \leqq 2)$ と $y$ 軸、直線 $y = 4$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

$x = \sqrt{y}$ とおくと、

V = \pi \displaystyle\int_0^4 (\sqrt{y})^2 \, dy

= \pi \displaystyle\int_0^4 y \, dy

= \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4

= \pi \cdot \frac{16}{2}

= \underline{8\pi}

$y$ 軸周りの回転体の体積について解説します。

$y$ 軸周りの回転では、 $x$ を $y$ の関数として表し直すのがポイントです。

曲線 $y = x^2 \; (0 \leqq x \leqq 2)$ と $y$ 軸、直線 $y = 4$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

まず、どんな立体ができるかイメージしてみよう。

曲線 $y = x^2$ は、 $x = 2$ のとき $y = 4$ となります。

求める領域は、

この領域を $y$ 軸の周りに回転させると、上が細く下が太い壺のような形の立体ができます。

$y$ 軸周りの回転だから、 $y$ で積分するんですよね？

その通り！ $y = x^2$ を $x =$ の形に変形して、 $dy$ で積分するよ。

$y = x^2$ より、 $x = \pm\sqrt{y}$

今回は $x \geqq 0$ の範囲なので、 $x = \sqrt{y}$ です。

積分範囲は、 $y$ が $0$ から $4$ までです。

公式 $V = \pi \displaystyle\int_c^d \{g(y)\}^2 \, dy$ に代入すると、

V = \pi \displaystyle\int_0^4 (\sqrt{y})^2 \, dy

= \pi \displaystyle\int_0^4 y \, dy

これは簡単に積分できますね。

V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^4

= \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right)

= \underline{8\pi}

ちなみに、バウムクーヘン積分という別の方法もあるんだよ。

今回の問題をバウムクーヘン積分で解くと、

V = 2\pi \displaystyle\int_0^2 x \cdot (4 - x^2) \, dx

= 2\pi \displaystyle\int_0^2 (4x - x^3) \, dx

= 2\pi \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_0^2

= 2\pi \left( 8 - 4 \right)

= 8\pi

どちらの方法でも同じ答えになりますね！

このページのまとめ

ここでは $y$ 軸周りの回転体の体積について学習しました。

$y = f(x)$ を $x = g(y)$ に変形して $dy$ で積分する方法と、バウムクーヘン積分の2つの方法を紹介しました。

問題に応じて使いやすい方を選べるようになりましょう！

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