置換積分

問題

次の不定積分を求めよ。

解説

置換積分の問題を解説します。

どういう意味なのかよく分かりません。

この置換積分の式を見ただけだとよく分からないよね。

簡単に言うと、そのままでは積分できないときに関数の一部を文字で「置換」することによって積分できる形に持っていこうというのが置換積分法なんだ。

実際に例題を解きながら解法を見ていきましょう。

非積分関数である$x\sqrt{x+3}$を直接積分することはできないので、置換積分法を使って考えていきます。

置換積分は関数の一部を文字で置くんですよね。どこを置換すればいいんですか？

どの部分を文字で置けば上手くいくかは問題によるよ。

基本的に√が出てきた場合は、√の中身を置換するか√ごと置換しよう。

どちらの方法でやっても同じ答えになりますが、今回は$\sqrt{x+3}=t$と置いて解くことにします。

非積分関数である$x\sqrt{x+3}$を$t$だけで表したいので、$x$を$t$で表す必要がありますね。

$\sqrt{x+3}=t$の両辺を2乗すると$x+3=t^2$となるので、$x=t^2-3$と表せます。

これで被積分関数は$x$を使わず$t$のみで表すことができますが、$dx$の部分も$dt$に変換する必要があります。$x=t^2-3$の両辺を$t$で微分すると$\frac{dx}{dt}=2t$となるので、$dx=2t\cdot dt$と表すことができます。

なぜ左辺の$x$を微分したら$\frac{dx}{dt}$になるんですか？

$x$を$t$で微分することを$\frac{dx}{dt}$と書くんだ。

これは表記法が違うだけで、$xを$微分したことを$x'$と書いているのと同じだよ。

以上より、$\int x\sqrt{x+3}dx$ $= \int (t^2-3)t \cdot 2t\;dt$とできます。

もともと$xだけ$で表されていた積分を自分で「置換」した文字である$t$だけで表せているのがポイントだよ。

$dx$の部分も$dt$に変換するのを忘れないようにしよう。

置換することにより、$\int (t^2-3)t \cdot 2t\;dt$ $= \int (2t^4-6t^2)dt$を計算すればよくなりました。この積分は公式を使って簡単に行えますね。

これを計算して$= \int (2t^4-6t^2)dt$ $=\underline{\frac{2}{5}\sqrt{x+3}(x+3)(x-2)+C}\;\;(Cは積分定数)$となります。

ここでは置換積分の問題について解説しました。

「なにを置換すればいいのか」など最初は迷うところも多いと思いますが色々な問題を解いて練習することにより力をつけていきましょう！