特殊な置換積分①

問題

次の定積分を求めよ。

解説

置換積分の問題を解説します。

この問題を見て、どう考えるかな？

うーん、難しそうな積分ですね。とりあえずこの形のまま積分するのは無理なので置換して積分すると思います。

そうだね。でも結論から言うとこの形の積分は「特殊な置換」をしないと求めることができないんだ。

ふむふむ。でもこんな置換方法、絶対思いつけないですよね。

そうだね。この解法は必ず暗記しておこう。

それでは実際に例題を通して解法を見ていきましょう。

被積分関数に$\sqrt{4-x^2}$という$\sqrt{a^2-x^2}$の形をした関数が含まれているので、特殊な置換を行う積分だと気づけますね。

$x=2\sin \theta\; \left(-\frac{\pi}{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right)\;$と置換して考えていきます。

$x=a\sin\theta$と置換したとき、定積分の積分区間も変わることに注意しよう。

変数が$x$のときは積分区間は$0 \to 2$でしたが、変数が$\theta$になったため積分区間も変わります。

$x=0$のとき$x=2\sin\theta\; \left(-\frac{\pi}{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right)\;$を解くと$\theta=0$となり、$x=2$のとき$x=2\sin\theta\; \left(-\frac{\pi}{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right)\;$を解くと$\theta=\frac{\pi}{2}$となるため、積分区間は$0 \to \frac{\pi}{2}$となります。

また、$x=2\sin\theta$の両辺を$\theta$で微分して整理することにより、$dx=2\cos\theta d\theta$とできますね。

以上より、$\int_0^2 \sqrt{4-x^2}dx$ $=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4-4\sin^2\theta}\cdot 2cos\theta d \theta$を考えていきます。

被積分関数である$\sqrt{4-4\sin^2\theta}$は相互関係を用いれば$\sqrt{4\cos^2\theta}=2|\cos\theta|$となるので、整理すると$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2|\cos\theta|\cdot 2\cos\theta d \theta$ $=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta$となります。

あれ、$|\cos\theta|$ってどうなったんですか？

積分区間である$0 \to \frac{\pi}{2}$よりこの範囲では$\cos\theta\geqq 0$となることが分かるから、$|\cos\theta|=\cos\theta$としてOKだよ。

あとは$4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta$を計算していきましょう。

2倍角の公式を使うことにより、$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2}d\theta =2\left[ \theta + \frac{1}{2}\sin2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 2\cdot \frac{\pi}{2}=\underline{\pi}$となります。

では次の問題を見ていきましょう。

分母に$\sqrt{a^2-x^2}$の形をした関数がありますね。

その通り。分数になっていると意外と気づきづらいから、注意しておこう。

$(1)$と同様に$x=a\sin\theta$と置換して考えていきます。

$\sqrt{a^2-x^2}$の形をした関数が、分子ではなく分母にあるだけで考え方自体は同じなので、解答例を以下に示します。

ここでは特殊な置換積分の問題について解説しました。

今回の例題のような特殊な置換積分を行わなければならない問題の解法をその場で考えるのはほぼ無理なので、必ず解法を覚えましょう。

$x=a\sin\theta$と置換することが分かっていても、積分区間を求めたり2倍角の公式を使う計算などミスが起きやすい計算もたくさんあるので、色々な問題を解いて解き慣れておきましょう！