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積分法

不定積分

積分法の「不定積分」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅲ 約7分 難易度 1

このページのまとめ

先に押さえておくこと

不定積分の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

積分法の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 不定積分
  • ポイント: 積分法の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

次の不定積分を求めよ。

(1)∫1x3dx\large (1)\quad \int \frac{1}{x^3}dx
(2)∫x(1+1x)2dx\large (2)\quad \int \sqrt{x}\left (1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right )^2dx

答えを見る

CCは積分定数とする。

(1)∫1x3dx=−12x2+C‾\large (1)\int \frac{1}{x^3}dx = \underline{-\frac{1}{2x^2}+C}

(2)∫x(1+1x)2dx\large (2)\int \sqrt{x}\left (1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right )^2dx =23xx+2x+2x+C‾\large =\underline{\frac{2}{3}x \sqrt{x}+2x+2\sqrt{x}+C}

解説

不定積分の問題について解説していきます。

最初に不定積分の公式について確認しておきましょう。

この公式を元に、問題を解説していきます。

(1)∫1x3dx\large (1)\quad \int \frac{1}{x^3}dx

まずは、被積分関数を公式が使える形に変形しましょう。

1x3=x−3\frac{1}{x^3}=x^{-3}なので、公式より∫1x3dx\int \frac{1}{x^3}dx =∫x−3dx=\int x^{-3}dx=x−3+1−3+1+C=\frac{x^{-3+1}}{-3+1}+C =−12x2+C(Cは積分定数)‾= \underline{-\frac{1}{2x^2}+C\quad (Cは積分定数)}となります。

(2)∫x(1+1x)2dx\large (2)\quad \int \sqrt{x}\left (1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right )^2dx

公式が使えないので、被積分関数を展開します。

x(1+1x)2\sqrt{x} \left (1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 =x(1+2x+1x)= \sqrt{x}\left (1+\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x} \right) =x+2+1x=\sqrt{x}+2+\frac{1}{\sqrt{x}} =x12+2+x−12=x^{\frac 1 2}+2+x^{-\frac{1}{2}}となりました。

この形なら公式が使えますね！

よって、∫x(1+1x)2dx=∫(x12+2+x−12)dx\int \sqrt{x}\left (1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right )^2dx=\int (x^{\frac 1 2}+2+x^{-\frac{1}{2}}) dx=23x32+2x+2x12+C==\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+2x+2x^{\frac{1}{2}}+C= 23xx+2x+2x+C‾\underline{\frac{2}{3}x\sqrt{x}+2x+2\sqrt{x}+C} (Cは積分定数)‾\underline{ (Cは積分定数)}となります。

x32x^{\large \frac{3}{2}}などの項は、答える時はxxx\sqrt{x}のように表したほうが良いんですか？

どちらも正解ではあるけれど、基本的には問題文と同じように表記すればOKだよ。

この問題文では\sqrt{}を使って表記されているから\sqrt{}の形に直して解答しておこう。

このページのまとめ

ここでは不定積分の問題について解説しました。

ここで紹介した公式は、基礎中の基礎なので何度も練習して使いこなせるようになりましょう！

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