回転体の体積でなぜ π を掛けるの？

回転体の体積（x軸回り）では、積分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

sin^2x を積分するときに半角の公式を使う理由は？

回転体の体積（x軸回り）では、積分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

回転体の体積（x軸回り）では、積分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

このページのまとめ

回転体の体積（x軸回り）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

曲線 $y = \sin x \; (0 \leqq x \leqq \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

V = \pi \displaystyle\int_0^\pi \sin^2 x \, dx

= \pi \displaystyle\int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx

= \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^\pi

= \frac{\pi}{2} \left( \pi - 0 \right)

= \underline{\frac{\pi^2}{2}}

回転体の体積の求め方について解説します。

回転体の体積は定積分を用いて計算でき、入試でも超頻出の重要テーマです。

曲線 $y = \sin x \; (0 \leqq x \leqq \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

まず、回転する領域を確認しよう。グラフを見てみて。

$y = \sin x$ は $0 \leqq x \leqq \pi$ の範囲で $0 \leqq y \leqq 1$ の値をとり、 $x = 0, \pi$ で $y = 0$ となります。

この曲線と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに回転させると、楕円を横に引き延ばしたような立体ができます。

公式に当てはめればいいんですよね？

その通り！公式 $V = \pi \displaystyle\int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx$ に、 $f(x) = \sin x$ 、 $a = 0$ 、 $b = \pi$ を代入するよ。

V = \pi \displaystyle\int_0^\pi (\sin x)^2 \, dx

= \pi \displaystyle\int_0^\pi \sin^2 x \, dx

ここで、 $\sin^2 x$ をそのまま積分するのは難しいので、半角の公式を使います。

V = \pi \displaystyle\int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx

= \frac{\pi}{2} \displaystyle\int_0^\pi (1 - \cos 2x) \, dx

= \frac{\pi}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^\pi

$x = \pi$ のとき、 $\sin 2\pi = 0$

$x = 0$ のとき、 $\sin 0 = 0$

よって、

V = \frac{\pi}{2} \left[ \left( \pi - \frac{0}{2} \right) - \left( 0 - \frac{0}{2} \right) \right]

= \frac{\pi}{2} \cdot \pi

= \underline{\frac{\pi^2}{2}}

半角の公式を使うことで積分できる形になったね！

このページのまとめ

ここでは $x$ 軸周りの回転体の体積について学習しました。

公式の適用と、三角関数の2乗を積分する際の半角の公式が重要なポイントです。

回転体の体積は入試頻出なので、しっかり練習してくださいね！

アプリで続ける

この問題に関するよくある疑問への回答や、解法のポイントをまとめた「解法の鍵」はアプリに収録しています。類題演習やAIへの質問もアプリから使えます。回転体の体積（x軸回り） に近い内容をそのまま続けられます。

よくある質問解法の鍵類題演習 AIに質問

ストアからダウンロードして、同じ単元の演習やAI質問をそのまま続けられます。