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積分法

三角関数の積分（様々なパターン）

半角の公式と置換積分

積分法の「三角関数の積分（様々なパターン）」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「半角の公式と置換積分」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅲ 約10分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

三角関数の積分（様々なパターン）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

半角の公式と置換積分の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 半角の公式と置換積分
  • ポイント: 積分法の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

次の不定積分を求めよ。

(1)∫sin⁡2x dx(1)\quad \displaystyle \int \sin^2 x\,dx
(2)∫sin⁡3x dx(2)\quad \displaystyle \int \sin^3 x\,dx
(3)∫sin⁡xcos⁡x dx(3)\quad \displaystyle \int \sin x \cos x\,dx

答えを見る
(1)  x2−sin⁡2x4+C‾(1)\;\underline{\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C}
(2)  −cos⁡x+cos⁡3x3+C‾(2)\;\underline{\displaystyle -\cos x+\frac{\cos^3 x}{3}+C}

(3)  sin⁡2x2+C‾(3)\;\underline{\displaystyle \frac{\sin^2 x}{2}+C} (または−cos⁡2x2+C)\left(または-\displaystyle \frac{\cos^2 x}{2}+C\right)

解説

三角関数の積分について解説します。

三角関数の積分は、関数の形によって解法が変わります。パターン別に見ていきましょう。

(1)∫sin⁡2x dx(1)\quad \displaystyle \int \sin^2 x\,dx

sin⁡2x\sin^2 xを直接積分するのは難しいね。どうすればいいかな？

半角の公式を使えばいいんですか？

その通り！sin⁡2x\sin^2 xをcos⁡2x\cos 2xの式に変形しよう。

半角の公式より、

sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}

したがって、

∫sin⁡2x dx=∫1−cos⁡2x2 dx\displaystyle \int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx
=12∫(1−cos⁡2x) dx= \frac{1}{2}\int (1-\cos 2x)\,dx
=12(x−sin⁡2x2)+C= \frac{1}{2}\left(x-\frac{\sin 2x}{2}\right)+C
=x2−sin⁡2x4+C‾= \underline{\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C}

cos⁡2x\cos^2 xの積分も同じように、半角の公式cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \displaystyle \frac{1+\cos 2x}{2}を使うよ。

次は(2)(2)を解こう。

(2)∫sin⁡3x dx(2)\quad \displaystyle \int \sin^3 x\,dx

sin⁡3x\sin^3 xは半角の公式では変形できませんね。

指数が奇数のときは、1つを分離して置換積分を使うんだよ。

sin⁡3x=sin⁡2x⋅sin⁡x=(1−cos⁡2x)sin⁡x\sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x = (1-\cos^2 x)\sin xと変形します。

t=cos⁡xt=\cos xとおくと、dtdx=−sin⁡x\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\sin xよりdx=−dtsin⁡xdx=-\displaystyle \frac{dt}{\sin x}

∫sin⁡3x dx=∫(1−cos⁡2x)sin⁡x dx\displaystyle \int \sin^3 x\,dx = \int (1-\cos^2 x)\sin x\,dx
=∫(1−t2)sin⁡x⋅(−dtsin⁡x)= \int (1-t^2)\sin x \cdot \left(-\frac{dt}{\sin x}\right)
=−∫(1−t2) dt= -\int (1-t^2)\,dt
=−(t−t33)+C= -\left(t-\frac{t^3}{3}\right)+C
=−cos⁡x+cos⁡3x3+C‾= \underline{-\cos x+\frac{\cos^3 x}{3}+C}

最後に(3)(3)を解こう。

(3)∫sin⁡xcos⁡x dx(3)\quad \displaystyle \int \sin x \cos x\,dx

この問題は2つの解法があるよ。どちらでもOKだから、やりやすい方を使おう。

【解法1：置換積分】

t=sin⁡xt=\sin xとおくと、dtdx=cos⁡x\displaystyle \frac{dt}{dx}=\cos xよりdt=cos⁡x dxdt=\cos x\,dx

∫sin⁡xcos⁡x dx=∫t dt=t22+C=sin⁡2x2+C\displaystyle \int \sin x \cos x\,dx = \int t\,dt = \frac{t^2}{2}+C = \frac{\sin^2 x}{2}+C

【解法2：2倍角の公式】

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos xよりsin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x \cos x = \displaystyle \frac{\sin 2x}{2}

∫sin⁡xcos⁡x dx=∫sin⁡2x2 dx=−cos⁡2x4+C\displaystyle \int \sin x \cos x\,dx = \int \frac{\sin 2x}{2}\,dx = -\frac{\cos 2x}{4}+C

答えが違うように見えますが、大丈夫ですか？

実は両方とも正解なんだ。cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1-2\sin^2 xを使うと、両者が定数項の違いだけであることがわかるよ。不定積分の定数CCは任意だから、どちらも正しいんだ。

このページのまとめ

ここでは三角関数の積分の様々なパターンについて学習しました。

半角の公式、置換積分、2倍角の公式など、状況に応じて使い分けることが重要です。

それぞれのパターンをしっかり理解して、問題演習を重ねましょう！

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