高校数学の解法 高校数学の解き方と勉強法を、わかりやすくまとめた学習サイト

積分法

三角関数の不定積分

$\sin$, $\cos$の積分公式

積分法の「三角関数の不定積分」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$\sin$, $\cos$の積分公式」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅲ 約5分 難易度 1

このページのまとめ

先に押さえておくこと

三角関数の不定積分の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$\sin$, $\cos$の積分公式の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: sin⁡\sin, cos⁡\cosの積分公式
  • ポイント: 積分法の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の不定積分を求めよ。

(1)∫sin⁡x dx(1)\quad \displaystyle\int \sin x \, dx
(2)∫(3cos⁡x−2sin⁡x) dx(2)\quad \displaystyle\int (3\cos x - 2\sin x) \, dx

答えを見る
(1)  −cos⁡x+C‾(1)\; \underline{-\cos x + C}
(2)  3sin⁡x+2cos⁡x+C‾(2)\; \underline{3\sin x + 2\cos x + C}

解説

三角関数の不定積分について解説します。

微分と積分は逆の関係にあるので、三角関数の微分公式を逆に使うことで積分公式が得られます。

sinの積分は-cosで、マイナスが付くんですね。

その通り！(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin xだから、積分すると符号が戻って∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x \, dx = -\cos x + Cになるんだよ。

(1)∫sin⁡x dx(1)\quad \displaystyle\int \sin x \, dx

公式をそのまま使うと、

∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C‾\displaystyle\int \sin x \, dx = \underline{-\cos x + C}

答えを微分してsin⁡x\sin xに戻るか確認する癖をつけると良いよ。

確認：(−cos⁡x+C)′=−(−sin⁡x)=sin⁡x(-\cos x + C)' = -(-\sin x) = \sin x ✓

(2)∫(3cos⁡x−2sin⁡x) dx(2)\quad \displaystyle\int (3\cos x - 2\sin x) \, dx

積分は線形性（足し算・定数倍を保つ）があるので、項ごとに分けて計算できます。

∫(3cos⁡x−2sin⁡x) dx\displaystyle\int (3\cos x - 2\sin x) \, dx
=3∫cos⁡x dx−2∫sin⁡x dx= 3\displaystyle\int \cos x \, dx - 2\displaystyle\int \sin x \, dx
=3sin⁡x−2(−cos⁡x)+C= 3\sin x - 2(-\cos x) + C
=3sin⁡x+2cos⁡x+C‾= \underline{3\sin x + 2\cos x + C}

定数CCは各項に付けなくていいんですか？

定数をまとめて最後に1つだけ書けば十分だよ。C1+C2C_1 + C_2も結局は任意定数だからね。

このページのまとめ

ここでは三角関数の不定積分について学習しました。

公式を覚えて、符号に注意しながら計算できるようになりましょう！

アプリで続ける

この問題の「よくある質問」や「解法の鍵」は、アプリで読めます。

この問題に関するよくある疑問への回答や、解法のポイントをまとめた「解法の鍵」はアプリに収録しています。 類題演習やAIへの質問もアプリから使えます。三角関数の不定積分 に近い内容をそのまま続けられます。

よくある質問 解法の鍵 類題演習 AIに質問
App Store Google Play

ストアからダウンロードして、同じ単元の演習やAI質問をそのまま続けられます。