特殊な置換積分②

問題

次の定積分を求めよ。

解説

置換積分の問題を解説します。

特殊な置換積分①では、$\sqrt{a^2-x^2}$の形の関数が被積分関数に入っている積分では$x=a\sin\theta$と置換して考えていく解法を紹介しました。

それに加えもう1つおさえておきたい置換積分の問題があります。

それでは実際に例題を解説していきます。

$\frac{1}{a^2+x^2}$を含む積分になっていますね。$a=2$なので、$x=2\tan\theta\; \left(-\frac{\pi}{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right)$と置換して考えていきます。

$x=2\tan\theta$の両辺を$\theta$で微分して整理すると、$dx=\frac{2}{\cos^2 \theta}d \theta$となります。

また、積分範囲は変数が$x$のときは$0 \to 2$だったため$x=2\tan\theta$に$x=0,x=2$をそれぞれ代入して解くことにより、変数が$\theta$のときの積分区間は$0 \to \frac{\pi}{4}$となります。

よって、$\int_0^2 \frac{1}{4+x^2}dx$ $= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{4+4\tan^2\theta}\cdot\frac{2}{\cos^2 \theta }d\theta$を計算すれば良いですね。

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{4+4\tan^2\theta}\cdot\frac{2}{\cos^2 \theta }d\theta$ $= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{4(1+\tan^2\theta)}\cdot\frac{2}{\cos^2 \theta }d\theta$とでき、三角関数の相互関係である${1+\tan^2\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}$を用いると$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2\theta}{4}\cdot\frac{2}{\cos^2 \theta }d\theta$ $=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2}d\theta$となります。

これを計算して求める答えは$\underline{\frac{\pi}{8}}$です。

ここでは置換積分の問題を解説しました。

この例題のような特殊な置換積分をしないと計算できない定積分の問題は頻出です。

解法を覚えておいて、いつでも正確に答えを求められるように練習しておきましょう！