区分求積法

問題

次の極限値を求めよ。

解説

区分求積法について解説します。

区分求積法は、極限と定積分を結びつける重要な手法です。

なぜこの公式が成り立つんですか？

良い質問だね。定積分の定義を思い出してみよう。

定積分は、区間を細かく分割して長方形の面積を足し合わせたものの極限なんだ。

区間$[0, 1]$を$n$等分すると、各区間の幅は$\displaystyle \frac{1}{n}$になります。

$k$番目の区間の右端の値は$\displaystyle \frac{k}{n}$です。

この点での関数の値$f\left(\displaystyle \frac{k}{n}\right)$を高さとする長方形の面積は、

これを$k=1$から$k=n$まで足し合わせると、

$n \to \infty$とすると、長方形の幅が0に近づき、定積分の定義そのものになります。

つまり、極限を取ることで和が積分に変わるんだね。それでは例題を解いてみよう。

公式の形と比較して、$f(x)$を特定しよう。

$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k}{n}}$の形を見ると、

$\displaystyle f\left(\frac{k}{n}\right) = \sqrt{\frac{k}{n}}$なので、$f(x) = \sqrt{x}$です。

区分求積法の公式より、

あとは定積分を計算すればいいんですね！

定積分を計算します。

区分求積法のポイントは、$\displaystyle \frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$の形を見抜くことだよ。

もし$\displaystyle \frac{k}{n}$の部分が違う形だったらどうなりますか？

いい質問だね！例えば$\displaystyle \frac{2k}{n}$だったら、一般化した公式を使うんだ。

その場合は$x=\displaystyle \frac{2k}{n}$なので、$k=1$のとき$x=\displaystyle \frac{2}{n}$、$k=n$のとき$x=2$となり、

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx$になるよ。

区分求積法は入試頻出なので、しっかり理解しておこう！

ここでは区分求積法について学習しました。

極限と定積分の関係を理解することが、この手法の本質です。

公式の形を覚えるだけでなく、なぜ定積分に変換できるのかを理解しておくことが大切ですよ！