1/x の積分だけ log になるのはなぜ？

対数関数型の積分では、積分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

絶対値を付ける理由を積分の側から知りたい

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このページのまとめ

対数関数型の積分の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$\displaystyle\int \frac{1}{x} dx$の公式の答えと条件を先に確認できます。

次の不定積分を求めよ。

(1)\quad \displaystyle\int \frac{1}{x} \, dx

(2)\quad \displaystyle\int \frac{2x+1}{x^2+x} \, dx

(1)\; \underline{\log |x| + C}

(2)\; \underline{\log |x^2+x| + C}

対数関数型の積分について解説します。

$\frac{1}{x}$ の積分は特殊で、べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ が使えません（ $n=-1$ のときは分母が0になるため）。

絶対値記号が付いているのはなぜですか？

$x < 0$ の場合でも対数が定義できるようにするためだよ。 $\log$ の中身は必ず正でないといけないからね。

(1)\quad \displaystyle\int \frac{1}{x} \, dx

公式をそのまま使うと、

\displaystyle\int \frac{1}{x} \, dx = \underline{\log |x| + C}

確認： $(\log |x| + C)' = \frac{1}{x}$ ✓

(2)\quad \displaystyle\int \frac{2x+1}{x^2+x} \, dx

この問題は応用公式 $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)| + C$ のパターンだよ。

分母 $f(x) = x^2+x$ を微分すると、

f'(x) = 2x + 1

これは分子とちょうど一致しています！よって応用公式より、

\displaystyle\int \frac{2x+1}{x^2+x} \, dx

= \displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx

= \log |f(x)| + C

= \underline{\log |x^2+x| + C}

分子が分母の微分になっているかチェックすればいいんですね！

その通り！このパターンは頻出だから、見抜けるようにしておこう。

このページのまとめ

ここでは対数関数型の積分について学習しました。

$\frac{1}{x}$ 型と $\frac{f'(x)}{f(x)}$ 型の2つのパターンをマスターしましょう！

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