部分積分でどちらを微分側に選ぶの？

部分積分法では、積分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

xe^x や x sin x で部分積分を使う基準は？

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このページのまとめ

部分積分法の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

積の形の関数の積分の答えと条件を先に確認できます。

次の不定積分を求めよ。

(1)\quad \displaystyle\int x e^x \, dx

(2)\quad \displaystyle\int x \sin x \, dx

(1)\; \underline{x e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C}

(2)\; \underline{-x \cos x + \sin x + C}

部分積分法について解説します。

部分積分は、積の微分公式 $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を積分に応用した非常に重要な技法です。

どちらを $f(x)$ 、どちらを $g'(x)$ にすればいいんですか？

良い質問だね！基本的には「微分すると簡単になる方を $f(x)$ 」にするんだ。

(1)\quad \displaystyle\int x e^x \, dx

この問題では $x \cdot e^x$ の形なので、

$f(x) = x$ （微分すると1になって簡単になる）

$g'(x) = e^x$ （積分できる： $g(x) = e^x$ ）

と設定します。すると、

f'(x) = 1

g(x) = e^x

部分積分の公式に当てはめると、

\displaystyle\int x e^x \, dx

= x \cdot e^x - \displaystyle\int 1 \cdot e^x \, dx

= x e^x - e^x + C

= \underline{(x-1)e^x + C}

右辺の $\int e^x dx$ は簡単に計算できたね。これが部分積分の狙いだよ。

続いて $(2)$ を解こう。

(2)\quad \displaystyle\int x \sin x \, dx

同様に、

$f(x) = x$ （微分すると1）

$g'(x) = \sin x$ （積分すると $g(x) = -\cos x$ ）

と設定します。すると、

f'(x) = 1

g(x) = -\cos x

部分積分の公式より、

\displaystyle\int x \sin x \, dx

= x \cdot (-\cos x) - \displaystyle\int 1 \cdot (-\cos x) \, dx

= -x \cos x + \displaystyle\int \cos x \, dx

= -x \cos x + \sin x + C

= \underline{-x \cos x + \sin x + C}

符号に気を付けないといけないですね。

そうだね！特に三角関数の積分は符号ミスが多いから、丁寧に計算しよう。

部分積分のコツをまとめておくね。

このページのまとめ

ここでは部分積分法について学習しました。

部分積分は数学IIIの積分法で最も重要な技法の1つです。

関数の選び方のコツをつかんで、たくさんの問題を解いて慣れていきましょう！

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