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積分法

定積分と漸化式

$\int \sin^n x\, dx$ の漸化式

積分法の「定積分と漸化式」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「$\int \sin^n x\, dx$ の漸化式」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅲ 約10分 難易度 3

このページのまとめ

先に押さえておくこと

定積分と漸化式の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$\int \sin^n x\, dx$ の漸化式の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: ∫sin⁡nx dx\int \sin^n x\, dx の漸化式
  • ポイント: 積分法の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

In=∫0π2sin⁡nx dx(n≧2)I_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx \quad (n \geqq 2) とするとき、次の問いに答えよ。

(1)(1)\quad InI_n と In−2I_{n-2} の関係式を求めよ。

(2)(2)\quad I4I_4 を求めよ。

答えを見る

(1)  (1)\; In=n−1nIn−2‾\underline{I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}}

(2)  (2)\; I4=3π16‾\underline{I_4 = \frac{3\pi}{16}}

解説

定積分と漸化式の問題について解説します。

この問題は、定積分で定義された数列について漸化式を導出し、具体的な値を求める入試頻出テーマです。

(1)(1)\quad InI_n と In−2I_{n-2} の関係式を求めよ。

定積分と漸化式の問題では、部分積分を使って次数を下げるのが定石だよ。

InI_n を部分積分で変形していきましょう。

In=∫0π2sin⁡nx dxI_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx
=∫0π2sin⁡n−1x⋅sin⁡x dx= \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1} x \cdot \sin x \, dx

ここで、sin⁡x\sin x を微分する形に持っていくため、sin⁡x=−(cos⁡x)′\sin x = -(\cos x)' と考えます。

In=∫0π2sin⁡n−1x⋅(−(cos⁡x)′) dxI_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1} x \cdot (-(\cos x)') \, dx
=[−sin⁡n−1xcos⁡x]0π2+∫0π2(sin⁡n−1x)′cos⁡x dx= \left[ -\sin^{n-1} x \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^{n-1} x)' \cos x \, dx

第1項は、x=0,π2x = 0, \frac{\pi}{2} のいずれでも 0 になります。

第2項を計算すると、

In=∫0π2(n−1)sin⁡n−2xcos⁡x⋅cos⁡x dxI_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} (n-1)\sin^{n-2} x \cos x \cdot \cos x \, dx
=(n−1)∫0π2sin⁡n−2xcos⁡2x dx= (n-1) \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx

cos⁡2x\cos^2 x が出てきました。どうすればいいですか？

cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x に変換すると、InI_n と In−2I_{n-2} の関係式が得られるよ！

In=(n−1)∫0π2sin⁡n−2x(1−sin⁡2x) dxI_n = (n-1) \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) \, dx
=(n−1)∫0π2sin⁡n−2x dx−(n−1)∫0π2sin⁡nx dx= (n-1) \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \, dx - (n-1) \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx
=(n−1)In−2−(n−1)In= (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n

両辺を整理すると、

In+(n−1)In=(n−1)In−2I_n + (n-1) I_n = (n-1) I_{n-2}
nIn=(n−1)In−2n I_n = (n-1) I_{n-2}
∴  In=n−1nIn−2‾\therefore \; I_n = \underline{\frac{n-1}{n} I_{n-2}}

続いて(2)(2)を解こう。

(2)(2)\quad I4I_4 を求めよ。

(1)(1) で得た漸化式を使って、I4I_4 を計算していきます。

まず、I0I_0 と I1I_1 を計算しておきましょう。

I0=∫0π21 dx=[x]0π2=π2I_0 = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}
I1=∫0π2sin⁡x dx=[−cos⁡x]0π2=1I_1 = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1

漸化式 In=n−1nIn−2I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2} より、

I2=12I0=12⋅π2=π4I_2 = \frac{1}{2} I_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}
I4=34I2=34⋅π4=3π16‾I_4 = \frac{3}{4} I_2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{\pi}{4} = \underline{\frac{3\pi}{16}}
このページのまとめ

ここでは定積分と漸化式について学習しました。

部分積分と三角関数の相互関係を使って漸化式を導出するパターンは入試でも頻出です。

しっかりマスターしてくださいね！

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