$e^x$ の積分がそのまま $e^x$ になるのはなぜ？

指数関数の不定積分では、積分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

$a^x$ を積分すると log a で割る理由は？

指数関数の不定積分では、積分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

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このページのまとめ

指数関数の不定積分の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$e^x$, $a^x$の積分公式の答えと条件を先に確認できます。

次の不定積分を求めよ。

(1)\quad \displaystyle\int e^x \, dx

(2)\quad \displaystyle\int 2^x \, dx

(3)\quad \displaystyle\int (e^x + 3 \cdot 2^x) \, dx

(1)\; \underline{e^x + C}

(2)\; \underline{\displaystyle\frac{2^x}{\log 2} + C}

(3)\; \underline{e^x + \displaystyle\frac{3 \cdot 2^x}{\log 2} + C}

指数関数の不定積分について解説します。

指数関数は微分しても形が変わらない（または対数倍になる）という性質があり、積分も同様の形になります。

$e^x$ の積分は簡単ですが、 $a^x$ の積分は $\log a$ で割るんですね。

そうだね！ $(a^x)' = a^x \log a$ だから、積分すると $\log a$ で割ってあげる必要があるんだ。

(1)\quad \displaystyle\int e^x \, dx

$e^x$ の積分は最も基本的な公式です。

\displaystyle\int e^x \, dx = \underline{e^x + C}

確認： $(e^x + C)' = e^x$ ✓

(2)\quad \displaystyle\int 2^x \, dx

一般の指数関数 $a^x$ の公式を使います。 $a = 2$ を代入すると、

\displaystyle\int 2^x \, dx = \underline{\displaystyle\frac{2^x}{\log 2} + C}

確認として微分してみよう： $(\frac{2^x}{\log 2})' = \frac{2^x \log 2}{\log 2} = 2^x$ ✓

(3)\quad \displaystyle\int (e^x + 3 \cdot 2^x) \, dx

項ごとに分けて公式を適用します。

\displaystyle\int (e^x + 3 \cdot 2^x) \, dx

= \displaystyle\int e^x \, dx + 3\displaystyle\int 2^x \, dx

= e^x + 3 \cdot \displaystyle\frac{2^x}{\log 2} + C

= \underline{e^x + \displaystyle\frac{3 \cdot 2^x}{\log 2} + C}

自然対数 $\log$ の底は $e$ ですよね？

正解！数学IIIでは $\log$ と書いたら底は $e$ （自然対数）だよ。 $\log_e 2$ のことを $\log 2$ と書くんだ。

このページのまとめ

ここでは指数関数の不定積分について学習しました。

$e^x$ はそのまま、 $a^x$ は $\log a$ で割る、というパターンをしっかり覚えましょう！

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