定積分で部分積分と偶奇性をどう使い分けるの？

定積分の計算（数学IIIレベル）では、積分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

x cos x が 0 になるのはなぜ奇関数だから？

定積分の計算（数学IIIレベル）では、積分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

定積分の計算（数学IIIレベル）では、積分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

このページのまとめ

定積分の計算（数学IIIレベル）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

指数・対数・三角関数と偶奇性の答えと条件を先に確認できます。

次の定積分を求めよ。

(1)\quad \displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx

(2)\quad \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x\cos x\,dx

(3)\quad \displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{x}\,dx

(1)\;\underline{1}

(2)\;\underline{0}

(3)\;\underline{\displaystyle \frac{1}{2}}

数学IIIレベルの定積分の計算について解説します。

指数関数、対数関数、三角関数を含む定積分は、部分積分や置換積分、偶奇性を使って計算します。

(1)\quad \displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx

$xe^x$ の積分は部分積分を使うよ。 $x$ を微分する側にすると計算が楽になるんだ。

$f(x)=x$ 、 $g'(x)=e^x$ とすると、 $f'(x)=1$ 、 $g(x)=e^x$

部分積分の公式より、

\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx

= [xe^x]_0^1 - [e^x]_0^1

= (1\cdot e^1 - 0\cdot e^0) - (e^1 - e^0)

= e - (e-1)

= \underline{1}

続いて $(2)$ を解こう。

(2)\quad \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x\cos x\,dx

これも部分積分を使えばいいですか？

部分積分でもできるけど、もっと早い方法があるよ。

$f(x)=x\cos x$ が奇関数か偶関数か確認してみよう。

$f(x) = x\cos x$ について、

f(-x) = (-x)\cos(-x)

$= (-x) \cdot \cos x$ （ $\because$ $\cos(-x)=\cos x$ ）

= -x\cos x = -f(x)

よって、 $f(x)=x\cos x$ は**奇関数**です。

奇関数の定積分（区間が原点対称）は、常に0になるんだよ。

奇関数の性質より、

\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x\cos x\,dx = \underline{0}

計算しなくても答えが0だとわかるんですね！

その通り！グラフで考えると、原点対称なので正の部分と負の部分が打ち消し合うんだ。

最後に $(3)$ を解こう。

(3)\quad \displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{x}\,dx

この問題は置換積分を使うとシンプルに解けるよ。

$t=\log x$ とおくと、 $\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}$ より $dt=\displaystyle \frac{dx}{x}$

また、 $x=1$ のとき $t=\log 1=0$ 、 $x=e$ のとき $t=\log e=1$

\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{x}\,dx = \int_0^1 t\,dt

= \left[\frac{t^2}{2}\right]_0^1

= \frac{1}{2} - 0

= \underline{\frac{1}{2}}

このページのまとめ

ここでは数学IIIレベルの定積分の計算について学習しました。

部分積分、置換積分、偶奇性の利用など、様々なテクニックを使いこなせるようになりましょう。

特に、奇関数の定積分は計算せずに0と分かるので、時間短縮になりますよ！

アプリで続ける

この問題に関するよくある疑問への回答や、解法のポイントをまとめた「解法の鍵」はアプリに収録しています。類題演習やAIへの質問もアプリから使えます。定積分の計算（数学IIIレベル） に近い内容をそのまま続けられます。

よくある質問解法の鍵類題演習 AIに質問

ストアからダウンロードして、同じ単元の演習やAI質問をそのまま続けられます。