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積分法

曲線の長さ・速度と距離

曲線の長さと媒介変数表示

積分法の「曲線の長さ・速度と距離」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「曲線の長さと媒介変数表示」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅲ 約14分 難易度 3

このページのまとめ

先に押さえておくこと

曲線の長さ・速度と距離の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

曲線の長さと媒介変数表示の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 曲線の長さと媒介変数表示
  • ポイント: 積分法の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

媒介変数表示 x=a(t−sin⁡t)x = a(t - \sin t), y=a(1−cos⁡t)  (0≦t≦2π)y = a(1 - \cos t) \; (0 \leqq t \leqq 2\pi) で表される曲線（サイクロイド）の長さを求めよ。ただし、a>0a > 0 とする。

答えを見る

dxdt=a(1−cos⁡t)\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), dydt=asin⁡t\frac{dy}{dt} = a\sin t より

L=∫02π(dxdt)2+(dydt)2 dtL = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt
=∫02πa2(1−cos⁡t)2+a2sin⁡2t dt= \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2(1 - \cos t)^2 + a^2\sin^2 t} \, dt
=a∫02π2−2cos⁡t dt= a \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{2 - 2\cos t} \, dt
=a∫02π2⋅1−cos⁡t dt= a \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{2} \cdot \sqrt{1 - \cos t} \, dt
=a2∫02π2sin⁡2t2 dt= a\sqrt{2} \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{2\sin^2 \frac{t}{2}} \, dt
=2a∫02π∣sin⁡t2∣ dt= 2a \displaystyle\int_0^{2\pi} \left| \sin \frac{t}{2} \right| \, dt
=2a∫02πsin⁡t2 dt(0≦t≦2π のときsin⁡t2≧0)= 2a \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin \frac{t}{2} \, dt \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi \text{ のとき} \sin \frac{t}{2} \geqq 0)
=2a[−2cos⁡t2]02π= 2a \left[ -2\cos \frac{t}{2} \right]_0^{2\pi}
=2a(−2(−1)−(−2)(1))= 2a \left( -2(-1) - (-2)(1) \right)
=2a(2+2)= 2a(2 + 2)
=8a‾= \underline{8a}

解説

曲線の長さと媒介変数表示について解説します。

曲線の長さは定積分で求めることができ、特に媒介変数表示の場合は美しい公式が使えます。

媒介変数表示 x=a(t−sin⁡t)x = a(t - \sin t), y=a(1−cos⁡t)  (0≦t≦2π)y = a(1 - \cos t) \; (0 \leqq t \leqq 2\pi) で表される曲線の長さを求めよ。

この曲線はどんな形をしているんですか？

これはサイクロイドと呼ばれる有名な曲線だよ。

円が直線上を滑らずに転がるとき、円周上の1点が描く軌跡なんだ。

まず、dxdt\frac{dx}{dt} と dydt\frac{dy}{dt} を計算します。

dxdt=a(1−cos⁡t)\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t)
dydt=asin⁡t\frac{dy}{dt} = a\sin t

媒介変数表示の曲線の長さの公式に代入すると、

L=∫02π(dxdt)2+(dydt)2 dtL = \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt
=∫02πa2(1−cos⁡t)2+a2sin⁡2t dt= \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2(1 - \cos t)^2 + a^2\sin^2 t} \, dt

ルートの中を展開して整理します。

(1−cos⁡t)2+sin⁡2t(1 - \cos t)^2 + \sin^2 t
=1−2cos⁡t+cos⁡2t+sin⁡2t= 1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t
=1−2cos⁡t+1= 1 - 2\cos t + 1
=2−2cos⁡t= 2 - 2\cos t
=2(1−cos⁡t)= 2(1 - \cos t)

よって、

L=∫02πa2(1−cos⁡t) dtL = \displaystyle\int_0^{2\pi} a\sqrt{2(1 - \cos t)} \, dt
=a2∫02π1−cos⁡t dt= a\sqrt{2} \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{1 - \cos t} \, dt

ここで半角の公式 1−cos⁡t=2sin⁡2t21 - \cos t = 2\sin^2 \frac{t}{2} を使うよ！

L=a2∫02π2sin⁡2t2 dtL = a\sqrt{2} \displaystyle\int_0^{2\pi} \sqrt{2\sin^2 \frac{t}{2}} \, dt
=a2⋅2∫02π∣sin⁡t2∣ dt= a\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \displaystyle\int_0^{2\pi} \left| \sin \frac{t}{2} \right| \, dt
=2a∫02π∣sin⁡t2∣ dt= 2a \displaystyle\int_0^{2\pi} \left| \sin \frac{t}{2} \right| \, dt

0≦t≦2π0 \leqq t \leqq 2\pi のとき、0≦t2≦π0 \leqq \frac{t}{2} \leqq \pi なので sin⁡t2≧0\sin \frac{t}{2} \geqq 0 です。

したがって、∣sin⁡t2∣=sin⁡t2\left| \sin \frac{t}{2} \right| = \sin \frac{t}{2} となります。

L=2a∫02πsin⁡t2 dtL = 2a \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin \frac{t}{2} \, dt

sin⁡t2\sin \frac{t}{2} の積分は、(cos⁡t2)′=−12sin⁡t2\left( \cos \frac{t}{2} \right)' = -\frac{1}{2}\sin \frac{t}{2} であることから、

∫sin⁡t2 dt=−2cos⁡t2+C\displaystyle\int \sin \frac{t}{2} \, dt = -2\cos \frac{t}{2} + C

これを用いて定積分を計算すると、

L=2a[−2cos⁡t2]02πL = 2a \left[ -2\cos \frac{t}{2} \right]_0^{2\pi}
=2a(−2cos⁡π−(−2cos⁡0))= 2a \left( -2\cos \pi - (-2\cos 0) \right)
=2a(−2(−1)+2(1))= 2a \left( -2(-1) + 2(1) \right)
=2a(2+2)= 2a(2 + 2)
=8a‾= \underline{8a}

サイクロイド1周期の長さは、円の直径の4倍になるんですね！

その通り！サイクロイドは美しい性質を持つ曲線なんだよ。

このページのまとめ

ここでは曲線の長さと媒介変数表示について学習しました。

媒介変数表示の公式は、速度ベクトルの大きさを積分する形になっています。

半角の公式や三角関数の性質を使いこなして、複雑な積分にも挑戦してくださいね！

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