どっちの曲線が上かをどう見分けるの？

面積（数学IIIレベル）では、積分法について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

$e^x$ と $y=e$ で囲まれた面積はどう式にするの？

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このページのまとめ

面積（数学IIIレベル）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

曲線 $y = e^x$ と直線 $y = e$ 、 $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

S = \displaystyle\int_0^1 (e - e^x) \, dx

= \left[ ex - e^x \right]_0^1

= (e - e) - (0 - 1)

= \underline{1}

指数関数や対数関数、三角関数で囲まれた面積の求め方について解説します。

数学IIIレベルの面積計算では、これまで学んできた様々な関数の積分を組み合わせて使います。

曲線 $y = e^x$ と直線 $y = e$ 、 $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

まず、どの領域の面積を求めるのか図を描いて確認しよう！

色のついた部分が求める面積です。

曲線 $y = e^x$ は $x = 1$ のとき $y = e$ となります。この点で、直線 $y = e$ と交わります。

また、 $y = e^x$ は $x = 0$ のとき $y = 1$ です。

求める領域は、

この領域は1つの積分で求められますか？

いいえ、 $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で下側の境界が変わるから、注意が必要だよ。

でも、よく見ると $e^x \geqq 0$ だから、実は $y = e$ と $y = e^x$ の差を積分すればOKだよ！

$0 \leqq x \leqq 1$ において、 $e^x \leqq e$ なので、面積は

S = \displaystyle\int_0^1 (e - e^x) \, dx

これを計算すると、

S = \left[ ex - e^x \right]_0^1

= (e \cdot 1 - e^1) - (e \cdot 0 - e^0)

= (e - e) - (0 - 1)

= 0 + 1

= \underline{1}

答えがちょうど 1 になるのは美しいね！

このページのまとめ

ここでは数学IIIレベルの面積計算について学習しました。

指数関数や三角関数、対数関数の積分を正確に行い、積分区間と上下の関数を確認することが大切です。

様々なパターンの問題を解いて慣れていきましょう！

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