原始関数は、どうやって見つけるの？

1/6公式・1/12公式では、積分について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

1/6公式・1/12公式の解き方 | 数学Ⅱの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

1/6公式・1/12公式の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

テーマ: 面積の公式
ポイント: 積分の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

$(1)\quad$ 放物線 $y=x^2-2x$ と直線 $y=x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

$(2)\quad$ 放物線 $y=x^2$ 上の2点 $A(0,0)$ 、 $B(2,4)$ を通る弦と放物線で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

答えを見る

$(1)\;$ $S=\underline{\frac{9}{2}}$

$(2)\;$ $S=\underline{\frac{4}{3}}$

解説

1/6公式と1/12公式について解説します。

面積を求める積分、計算が面倒なんですが...

放物線と直線で囲まれた面積には、計算を大幅に短縮できる便利な公式があるんだ！

なぜこの公式が成り立つんですか？

いい質問だね。公式の導出を見ていこう！

【1/6公式の導出】

放物線と直線の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とすると、

$ax^2+bx+c-(mx+n)=a(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できます。

面積 $S$ は次のように計算できます。

S=\int_{\alpha}^{\beta}|(mx+n)-(ax^2+bx+c)|dx

=\int_{\alpha}^{\beta}|{-a(x-\alpha)(x-\beta)}|dx

=|a|\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(\beta-x)dx

$\alpha<x<\beta$ のとき、 $(x-\alpha)>0$ 、 $(\beta-x)>0$ だから絶対値が外せるね。

ここで $t=x-\alpha$ と置換すると、 $x=\beta$ のとき $t=\beta-\alpha$ となり、

S=|a|\int_{0}^{\beta-\alpha}t(\beta-\alpha-t)dt

=|a|\int_{0}^{\beta-\alpha}\{(\beta-\alpha)t-t^2\}dt

=|a|\left[\frac{(\beta-\alpha)t^2}{2}-\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{\beta-\alpha}

=|a|\left\{\frac{(\beta-\alpha)^3}{2}-\frac{(\beta-\alpha)^3}{3}\right\}

=|a|\cdot\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3

なるほど！だから1/6公式と呼ばれるんですね。

1/12公式は、弦の一端が接点になっている特殊な場合だよ。

接点では交点が重解になるから、係数が1/12になるんだ。

それでは問題を解いていきましょう。

$(1)\quad$ 放物線 $y=x^2-2x$ と直線 $y=x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

まず、交点を求めます。

$x^2-2x=x$ より $x^2-3x=0$ 、 $x(x-3)=0$

よって $x=0, 3$ なので $\alpha=0$ 、 $\beta=3$ です。

グラフで囲まれた領域を確認しましょう。

青が放物線 $y=x^2-2x$ 、赤が直線 $y=x$ だよ。

塗りつぶされた部分が求める面積だね。

放物線の $x^2$ の係数 $a=1$ だね。1/6公式を使ってみよう！

S=\frac{|1|}{6}(3-0)^3

=\frac{1}{6}\times 27

=\underline{\frac{9}{2}}

普通に積分するより、ずっと速く解けました！

1/6公式を使わない場合の計算も確認しておこう。

【通常の積分による解法】

S=\int_{0}^{3}\{x-(x^2-2x)\}dx

=\int_{0}^{3}(3x-x^2)dx

=\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3}

=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}

同じ答えが出たね。1/6公式を使えば途中計算が大幅に省略できるよ！

$(2)\quad$ 放物線 $y=x^2$ 上の2点 $A(0,0)$ 、 $B(2,4)$ を通る弦と放物線で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

まず、直線 $AB$ の方程式を求めます。

傾き $=\frac{4-0}{2-0}=2$ より、 $y=2x$

交点は $x^2=2x$ より $x(x-2)=0$ 、 $x=0, 2$

グラフで囲まれた領域を確認しましょう。

青が放物線 $y=x^2$ 、赤が直線 $y=2x$ だよ。

塗りつぶされた部分が弦と放物線で囲まれた面積だね。

これも1/6公式が使えますね！

S=\frac{|1|}{6}(2-0)^3

=\frac{1}{6}\times 8

=\underline{\frac{4}{3}}

正解！放物線の弦と放物線で囲まれた面積も1/6公式で求められるよ。

【1/12公式の使い方】

1/12公式はどんなときに使うんですか？

1/12公式は、放物線とその接線で囲まれた面積を求めるときに使えるんだ。

ただし、条件があるよ。

例えば、放物線 $y=x^2$ 上の点 $P(-1,1)$ と点 $Q(2,4)$ を通る直線を考えます。

この直線が点 $Q$ で放物線に接している場合、囲まれた面積は1/12公式で求められます。

点 $Q(2,4)$ における接線の傾きは $y'=2x$ より $2\times 2=4$ です。

直線 $PQ$ の傾きは $\frac{4-1}{2-(-1)}=1$ なので、 $PQ$ は点 $Q$ での接線ではありません。

1/12公式を使うには、直線が放物線に接している必要があるんだ。

接線になっていない普通の弦なら、1/6公式を使えばOKだよ。

【1/12公式の例題】

放物線 $y=x^2$ 上の点 $(1,1)$ における接線と、放物線上の点 $(-2,4)$ から引いた弦で囲まれた面積を求めよ。

点 $(1,1)$ における接線の傾きは $2$ 、接線の方程式は $y-1=2(x-1)$ 、 $y=2x-1$

この接線が点 $(-2,4)$ を通るか確認： $4=2(-2)-1=-5\neq 4$ （通らない）

接線 $y=2x-1$ と点 $(-2,4)$ を通る直線は異なります。

点 $(-2,4)$ と点 $(1,1)$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{1-4}{1-(-2)}=-1$

1/12公式が使えるのは、弦の一端が接点で、その弦が接線になっている場合だよ。

入試では1/6公式の方がよく使われるから、まずはそちらをマスターしよう！

交点の $x$ 座標を求めて、差の3乗を計算すればいいんですね！

そうだね。 $(\beta-\alpha)^3$ を計算するとき、

2次方程式の解と係数の関係を使うとさらに効率的だよ。

【計算のコツ】

$x^2$ の係数が $a$ 、交点が $\alpha, \beta$ のとき、

a(x-\alpha)(x-\beta)=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta

解と係数の関係より、 $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ がわかれば、

$(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$ で計算できます。

このページのまとめ

ここでは1/6公式について学習しました。

放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線が $x=\alpha$ 、 $x=\beta$ で交わるとき、面積 $S=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ です。

この公式を覚えておくと、計算時間を大幅に短縮できます。ぜひマスターしてくださいね！

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