原始関数は、どうやって見つけるの？

定積分では、積分について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

定積分の解き方 | 数学Ⅱの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

定積分の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

テーマ: 定積分の定義と性質
ポイント: 積分の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の定積分の値を求めよ。

(1)\quad \displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)dx

(2)\quad \displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3+3x)dx

(3)\quad \displaystyle\int_{-1}^{1} (3x^4+1)dx

答えを見る

$(1)\;$ $\underline{6}$

$(2)\;$ $\underline{0}$

$(3)\;$ $\underline{\dfrac{16}{5}}$

解説

定積分の計算と性質について解説します。

定積分って、不定積分とどう違うんですか？

いい質問だね！不定積分は「関数」が答えになるけど、定積分は「値（数）」が答えになるんだ。

積分区間が決まっているから、具体的な数値として計算できるよ。

まずは定積分の定義と性質を確認しましょう。

定積分の定義と性質

$F(x)$ が $f(x)$ の原始関数のとき、

\displaystyle\int_a^b f(x)dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)

このとき、 $a$ を $\textcolor{red}{下端}$ 、 $b$ を $\textcolor{red}{上端}$ 、区間 $[a,b]$ を $\textcolor{red}{積分区間}$ という。

\textbf{[性質]}

$\textbf{(1)}$ $\displaystyle\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$ （ $k$ は定数）

$\textbf{(2)}$ $\displaystyle\int_a^b \{f(x) \pm g(x)\}dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx$

$\textbf{(3)}$ $\displaystyle\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$ （区間の分割）

$\textbf{(4)}$ $\displaystyle\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$ （上端・下端の交換）

さらに、積分区間が原点について対称な場合に使える重要な性質があります。

偶関数と奇関数ってどうやって見分けるんですか？

偶関数は $y$ 軸について対称なグラフ、奇関数は原点について対称なグラフだよ。

多項式の場合は、 $x$ の偶数乗の項だけなら偶関数、 $x$ の奇数乗の項だけなら奇関数になるんだ。

それでは問題を解いていきましょう！

(1)\quad \displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)dx

まずは基本的な定積分の計算だよ。各項ごとに積分して、上端と下端の値を代入しよう。

不定積分の公式 $\displaystyle\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ を使って各項を積分します。

\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)dx

= \left[x^3 - x^2 + x\right]_0^2

= (2^3 - 2^2 + 2) - (0 - 0 + 0)

= (8 - 4 + 2) - 0

= \underline{6}

y = 3x^2 - 2x + 1

上のグラフは $y = 3x^2 - 2x + 1$ です。定積分 $\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)dx$ は、この区間で曲線と $x$ 軸の間の面積に対応しています。

項ごとに積分して代入すればいいんですね！

その通り！代入のときは $F(b) - F(a)$ の順番を間違えないようにね。上端から下端を引くんだよ。

(2)\quad \displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3+3x)dx

この問題は普通に計算しても解けるけど、被積分関数の性質に注目すると一瞬で答えが出るよ。

$f(x) = x^3 + 3x$ について $f(-x)$ を調べてみましょう。

f(-x) = (-x)^3 + 3(-x)

= -x^3 - 3x

= -(x^3 + 3x) = -f(x)

$f(-x) = -f(x)$ が成り立つので、 $f(x) = x^3 + 3x$ は $\textcolor{red}{奇関数}$ です。

奇関数の定積分の性質より、積分区間が $[-1, 1]$ のように原点について対称なので、

\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3+3x)dx = \underline{0}

グラフを見ると、 $y = x^3 + 3x$ は原点について対称であることがわかります。 $[-1, 0]$ と $[0, 1]$ の面積が符号を含めて打ち消し合うので、定積分は $0$ になります。

グラフで見ると、面積が打ち消し合うのがよくわかりますね！

ちなみに普通に計算しても確認できるよ。

$\left[\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}\right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\right) - \left(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\right) = 0$ だね。

(3)\quad \displaystyle\int_{-1}^{1} (3x^4+1)dx

今度は被積分関数が偶関数かどうか確認してみよう。

$f(x) = 3x^4 + 1$ について $f(-x)$ を調べると、

f(-x) = 3(-x)^4 + 1

= 3x^4 + 1 = f(x)

$f(-x) = f(x)$ が成り立つので、 $f(x) = 3x^4 + 1$ は $\textcolor{red}{偶関数}$ です。

偶関数の定積分の性質 $\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$ を使うと、

\displaystyle\int_{-1}^{1} (3x^4+1)dx

= 2\displaystyle\int_0^1 (3x^4+1)dx

= 2\left[\dfrac{3}{5}x^5 + x\right]_0^1

= 2\left(\dfrac{3}{5} + 1\right)

= 2 \times \dfrac{8}{5}

= \underline{\dfrac{16}{5}}

偶関数の性質を使うと、半分の区間だけ計算すればいいから楽ですね！

そうだね！積分区間が $[-a, a]$ のように対称になっていたら、まず偶関数・奇関数かどうかチェックする癖をつけよう！

このページのまとめ

ここでは定積分の定義と性質について学習しました。

定積分の基本は $\displaystyle\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ で、積分して代入するだけですが、偶関数・奇関数の性質を活用すると計算が大幅に楽になります。

積分区間が対称なときは偶関数・奇関数のチェックを忘れずに行いましょう！

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