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積分

不定積分

微分の逆演算

積分の「不定積分」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「微分の逆演算」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約10分 難易度 1

このページのまとめ

先に押さえておくこと

不定積分の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

微分の逆演算の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 微分の逆演算
  • ポイント: 積分の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の不定積分を求めよ。

(1)∫(3x2−4x+5) dx(1)\quad \int (3x^2-4x+5)\,dx
(2)∫(6x2−2x+1) dx(2)\quad \int (6x^2-2x+1)\,dx
(3)∫(x+1)(x−3) dx(3)\quad \int (x+1)(x-3)\,dx

答えを見る

(1)  (1)\; x3−2x2+5x+C‾\underline{x^3-2x^2+5x+C}（CCは積分定数）

(2)  (2)\; 2x3−x2+x+C‾\underline{2x^3-x^2+x+C}（CCは積分定数）

(3)  (3)\; 13x3−x2−3x+C‾\underline{\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+C}（CCは積分定数）

解説

不定積分の問題について解説します。

不定積分ってなんですか？微分とどう関係しているんですか？

簡単に言うと、不定積分は微分の逆演算\textcolor{red}{微分の逆演算}だよ。

微分してf(x)f(x)になるような関数F(x)F(x)を求める操作のことなんだ。

例えば、F(x)=x3F(x)=x^3を微分するとF′(x)=3x2F'(x)=3x^2ですね。

逆に考えると、「微分したら3x23x^2になる関数は何？」と聞かれたらx3x^3と答えられます。

この「微分の逆」にあたる操作が積分\textcolor{red}{積分}です。

なるほど。微分の逆なんですね！

ただし注意点があるよ。x3x^3を微分すると3x23x^2だけど、x3+5x^3+5を微分しても3x23x^2になるよね。

つまり、定数の部分は微分すると消えてしまうから、積分するときには積分定数C\textcolor{red}{積分定数C}をつける必要があるんだ。

続いて、不定積分を計算するための基本公式を確認しましょう。

微分の公式の逆みたいになっていますね！

その通り！微分でxnx^nはnxn−1nx^{n-1}になったよね。

積分はその逆で、指数を11増やして、増やした指数で割るんだ。

さっそく問題を解いてみよう！

(1)∫(3x2−4x+5) dx(1)\quad \int (3x^2-4x+5)\,dx

各項をそれぞれ積分していきます。

∫(3x2−4x+5) dx\int (3x^2-4x+5)\,dx
=∫3x2 dx−∫4x dx+∫5 dx= \int 3x^2\,dx - \int 4x\,dx + \int 5\,dx
=3⋅13x3−4⋅12x2+5x+C= 3 \cdot \frac{1}{3}x^3 - 4 \cdot \frac{1}{2}x^2 + 5x + C
=x3−2x2+5x+C‾= \underline{x^3-2x^2+5x+C}

答えが正しいか確認するには、求めた式を微分してみよう。

(x3−2x2+5x+C)′=3x2−4x+5(x^3-2x^2+5x+C)'=3x^2-4x+5 となって、元の被積分関数と一致するね！

(2)∫(6x2−2x+1) dx(2)\quad \int (6x^2-2x+1)\,dx

同じように各項を積分していきます。

∫(6x2−2x+1) dx\int (6x^2-2x+1)\,dx
=6⋅13x3−2⋅12x2+x+C= 6 \cdot \frac{1}{3}x^3 - 2 \cdot \frac{1}{2}x^2 + x + C
=2x3−x2+x+C‾= \underline{2x^3-x^2+x+C}

定数11の積分はxxになるんですね！

そうだよ。1=x01=x^0と考えると、∫x0 dx=10+1x0+1=x\int x^0\,dx = \frac{1}{0+1}x^{0+1}=x となるからね。

(3)∫(x+1)(x−3) dx(3)\quad \int (x+1)(x-3)\,dx

被積分関数がそのままでは積分できないので、まず展開します。

(x+1)(x−3)=x2−3x+x−3=x2−2x−3(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3

これを積分すると、

∫(x2−2x−3) dx\int (x^2-2x-3)\,dx
=13x3−2⋅12x2−3x+C= \frac{1}{3}x^3 - 2 \cdot \frac{1}{2}x^2 - 3x + C
=13x3−x2−3x+C‾= \underline{\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+C}

積の形のまま積分しないように注意してね！

数学IIの範囲では、多項式の不定積分は展開してから各項を積分\textcolor{red}{展開してから各項を積分}するのが基本だよ。

わかりました！展開してから1つずつ積分すればいいんですね。

その通り！あと、積分定数Cを忘れない\textcolor{red}{積分定数Cを忘れない}ことも大事だよ。

テストでは積分定数を書き忘れて減点されることが多いから気をつけてね！

このページのまとめ

ここでは不定積分の定義と基本的な計算方法について学習しました。

不定積分は微分の逆演算であり、「指数を1増やして、増やした指数で割る」というのが基本公式です。

積分定数CCを忘れずにつけること、積の形は展開してから積分することを意識して練習してくださいね！

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