原始関数は、どうやって見つけるの？

定積分の性質では、積分について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

定積分の性質の解き方 | 数学Ⅱの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

定積分の性質の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

線形性と区間の分割の答えと条件を先に確認できます。

テーマ: 線形性と区間の分割
ポイント: 積分の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

$\int_0^2 f(x)\,dx=3$ , $\int_0^2 g(x)\,dx=5$ のとき、次の定積分の値を求めよ。

(1)\quad \int_0^2 \{2f(x)-3g(x)\}\,dx

(2)\quad \int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx

$(3)\quad$ $f(x)$ が奇関数のとき、 $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$ を求めよ。

答えを見る

$(1)\;$ $\underline{-9}$

$(2)\;$ $\underline{3}$

$(3)\;$ $\underline{0}$

解説

定積分の性質についての問題を解説します。

定積分にはどんな性質があるんですか？

定積分にはとても便利な性質がいくつかあるよ。まとめて確認しよう！

定積分の性質

\textcolor{red}{(1)\;線形性}

\int_a^b \{kf(x)+lg(x)\}\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx + l\int_a^b g(x)\,dx

（ $k$ , $l$ は定数）

\textcolor{red}{(2)\;区間の分割}

\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx

\textcolor{red}{(3)\;偶関数・奇関数の定積分}

$f(x)$ が偶関数 $(f(-x)=f(x))$ のとき： $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$

$f(x)$ が奇関数 $(f(-x)=-f(x))$ のとき： $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$

性質がたくさんありますね...。どうやって使い分けるんですか？

大丈夫！①の線形性は一番よく使うよ。

定積分の中の定数倍や足し算・引き算を、外に出せるという性質だね。

実際に問題を解きながら理解していこう！

$(1)\quad \int_0^2 \{2f(x)-3g(x)\}\,dx$ を求めよ。

ただし $\int_0^2 f(x)\,dx=3$ , $\int_0^2 g(x)\,dx=5$

これは性質①の線形性をそのまま使う問題だよ。定積分の中の定数を外に出してみよう。

線形性より、

\int_0^2 \{2f(x)-3g(x)\}\,dx

= 2\int_0^2 f(x)\,dx - 3\int_0^2 g(x)\,dx

= 2 \times 3 - 3 \times 5

= 6-15

= \underline{-9}

定数を積分の外に出すだけでいいんですね！

そうだね。 $f(x)$ や $g(x)$ の具体的な形がわからなくても、積分値さえわかっていれば計算できるのがポイントだよ。

$(2)\quad \int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx$ を求めよ。

ただし $\int_0^2 f(x)\,dx=3$

これは性質②の区間の分割を使う問題だよ。

区間の分割の性質より、

\int_0^2 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx

が成り立ちます。

つまり、 $\int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx = \int_0^2 f(x)\,dx = \underline{3}$ です。

積分区間を途中で区切っても、合計は変わらないんですね。

その通り！面積のイメージで考えると分かりやすいよ。

$0$ から $2$ までの面積は、 $0$ から $1$ までの面積と $1$ から $2$ までの面積を足したものと同じだよね。

$(3)\quad$ $f(x)$ が奇関数のとき、 $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$ を求めよ。

ただし $\int_0^2 f(x)\,dx=3$

$f(x)$ が奇関数であるとき、 $-a$ から $a$ までの定積分にはどんな性質があったかな？

奇関数は原点対称だから... $0$ になるんですか？

正解！奇関数はグラフが原点対称なので、正の部分と負の部分の面積が打ち消し合うんだ。

奇関数の性質より、

\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \underline{0}

ちなみに、もし $f(x)$ が偶関数 $(f(-x)=f(x))$ だったら、 $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_0^2 f(x)\,dx = 6$ になるよ。

偶関数は $y$ 軸対称だから、左右の面積が同じになるんだね。

偶関数だと2倍、奇関数だと0。覚えやすいですね！

このページのまとめ

ここでは定積分の性質について学習しました。

①線形性、②区間の分割、③偶関数・奇関数の定積分の3つの性質は、定積分の計算で非常によく使います。

特に線形性は基本中の基本なので、しっかりマスターしてくださいね！

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