積分方程式②

問題

関数$f(x)$が次の式を満たすとき、$f(x)$と定数$a$の値を求めよ。

解説

積分方程式の問題について解説します。

定積分が入った積分方程式は、文字でおいて$\cdots$あれ、でも定数区間じゃないです。

積分方程式の中にある定積分の区間が変数区間の場合は別の解法があるんだ。その解法を紹介するね。

積分方程式の中に変数区間の定積分があったら、すぐに「微分」という解法が頭に思い浮かべばバッチリだね。

これらの考え方をふまえて、問題を解いていきましょう！

先ほど示したように、変数区間の定積分があるのでまずは両辺を微分します。

$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$であることに注意すると、$f(x)=\underline{2x-3}$となります。

また、与式である$\int_a^x f(t)dt = x^2-3x+2$で$x=a$とすると$0=a^2-3a+2$より$(a-2)(a-1)=0$

よって$a=\underline{1,2}$となります。

思ったより簡単に求められましたね。

そうだね。次の2つのポイントをおさえておけばこのような問題はバッチリだよ。

1. 変数区間の定積分を見たら「微分」する
2. $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)$を使えるようになっておく

とくに②の式は忘れてしまいがちだからいつでも使えるように練習しておいてね！

ここでは積分方程式の問題について解説しました。

解法がわかっていれば計算は全く難しくありませんね。

定数区間型も合わせて色々な問題を解いてマスターしてくださいね！