積分方程式①

問題

関数$f(x)$が次の式を満たすとき、$f(x)$を求めよ。

解説

積分方程式の問題について解説します。

方程式の中に定積分が入っていますね。

でも$f(x)$を求める問題なので$f(t)$はまだわからないですよね。

そう考えてしまうよね。このような積分方程式の問題で、積分区間が定数になっているときは解法が決まっているから覚えてしまおう。

定数区間の定積分の入った積分方程式を見たら、すぐに文字でおけるようになろう。

それでは例題を通して解法を学習していきましょう。

定数区間の定積分があるので、まずは$\int_0^1 f(t)dt$を$k$とおきます。

すると、$f(x)+k=x^2+x$となります。左辺の$k$を移項すると$f(x)=x^2+x-k \cdots ☆$と表せますね。

ここで$k$について考えます。

$k=\int_0^1 f(t)dt$となるので、$☆$で$x=t$したものを代入すると$\int_0^1 f(t)dt=\int_0^1 (t^2+t-k)dt$となります。

これを計算すると$\int_0^1 (t^2+t-k)dt = \left [ \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} -kt \right ]_0^1 = \frac{5}{6} -k$

よって、$k=\frac{5}{6} -k$となるのでこれを解くと$k=\frac{5}{12}$と分かります。

$☆$より、求める$f(x)$は$\underline{x^2+x-\frac{5}{12}}$となります。

ここでは積分方程式の問題について解説しました。

積分区間が定数区間の定積分が入った積分関数は、解法を知らないと解きづらいかもしれませんが、文字でおくということだけおさえていればバッチリです。

色々なパターンの問題を解いてマスターしてくださいね！