微分すると、何が分かるようになるの？

定積分と微分の関係では、積分について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

定積分と微分の関係の解き方 | 数学Ⅱの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

定積分と微分の関係の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

微積分学の基本定理の答えと条件を先に確認できます。

テーマ: 微積分学の基本定理
ポイント: 積分の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

次の関数を $x$ で微分せよ。

(1)\quad F(x) = \displaystyle\int_1^x (3t^2-2t)dt

(2)\quad G(x) = \displaystyle\int_0^x (t^3+4t)dt

(3)\quad H(x) = \displaystyle\int_x^2 (6t^2-1)dt

答えを見る

$(1)\;$ $F'(x) = \underline{3x^2-2x}$

$(2)\;$ $G'(x) = \underline{x^3+4x}$

$(3)\;$ $H'(x) = \underline{-6x^2+1}$

解説

定積分と微分の関係について解説します。

定積分で定義された関数を微分するって、どういうことですか？

いい質問だね！積分の上端が変数 $x$ になっている定積分は、 $x$ の関数になるんだ。

それを微分するとどうなるか、というのがこのテーマだよ。

まずは定積分と微分の関係を表す重要な公式を確認しましょう。

積分したものを微分すると、もとに戻るんですね！

その通り！微分と積分は逆の操作なんだ。これは微積分学で最も重要な関係の一つだよ。

この公式が成り立つ理由を簡単に説明します。

$f(t)$ の不定積分（原始関数）の1つを $\hat{F}(t)$ とすると、定積分は

\displaystyle\int_a^x f(t)dt = \hat{F}(x) - \hat{F}(a)

と表せます。ここで $\hat{F}(a)$ は定数ですから、 $x$ で微分すると

\dfrac{d}{dx}\left\{\hat{F}(x) - \hat{F}(a)\right\} = \hat{F}'(x) - 0 = f(x)

となり、もとの $f(x)$ に戻ることが確認できます。

なるほど、定数の部分は微分すると消えるんですね！

そういうこと！それでは実際に問題を解いてみよう。

$(1)\quad F(x) = \displaystyle\int_1^x (3t^2-2t)dt$ を $x$ で微分せよ。

公式 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)dt = f(x)$ をそのまま使います。

ここでは $f(t) = 3t^2-2t$ 、 $a = 1$ ですので、

F'(x) = \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_1^x (3t^2-2t)dt = \underline{3x^2-2x}

$t$ を $x$ に置き換えるだけでOKです。

$(2)\quad G(x) = \displaystyle\int_0^x (t^3+4t)dt$ を $x$ で微分せよ。

同様に公式を使います。 $f(t) = t^3+4t$ 、 $a=0$ ですので、

G'(x) = \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x (t^3+4t)dt = \underline{x^3+4x}

下端の値（ $a$ の値）は関係ないんですか？

下端の値が何であっても、積分した後に微分すれば定数部分は消えるからね。

結果には影響しないんだ。

$(3)\quad H(x) = \displaystyle\int_x^2 (6t^2-1)dt$ を $x$ で微分せよ。

注意！この問題は今までと違って、 $x$ が積分の下端にあるよ。こういう場合はどうすればいいかな？

積分の上端と下端を入れ替えると、符号が変わります。つまり、

H(x) = \displaystyle\int_x^2 (6t^2-1)dt = -\int_2^x (6t^2-1)dt

これで $x$ が上端にきたので、公式が使えます。

H'(x) = -\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_2^x (6t^2-1)dt = -(6x^2-1) = \underline{-6x^2+1}

積分区間を入れ替えるとマイナスがつくんでしたね！

そうだね！ $\displaystyle\int_a^b f(t)dt = -\int_b^a f(t)dt$ という性質を使っているんだ。

下端に $x$ がある場合は要注意だよ。

ここで(3)の別解として、直接計算して確かめることもできます。

H(x) = \displaystyle\int_x^2 (6t^2-1)dt = \Big[2t^3-t\Big]_x^2

= (16-2) - (2x^3-x)

= -2x^3+x+14

これを微分すると、 $H'(x) = -6x^2+1$ となり、確かに一致します。

このページのまとめ

ここでは定積分と微分の関係（微積分学の基本定理）について学習しました。

$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)dt = f(x)$ という公式は、積分方程式や関数の決定問題で頻出します。

下端に $x$ がある場合の符号変化にも注意して、しっかりマスターしてくださいね！

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