高校数学の解法 高校数学の解き方と勉強法を、わかりやすくまとめた学習サイト

積分

定積分の計算

様々なパターン

積分の「定積分の計算」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「様々なパターン」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約16分 難易度 2 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

定積分の計算の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: 様々なパターン
  • ポイント: 積分の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の定積分の値を求めよ。

(1)∫12(3x2−4x+1)dx(1)\quad \displaystyle\int_1^2 (3x^2-4x+1)dx
(2)∫01(2x+1)3dx(2)\quad \displaystyle\int_0^1 (2x+1)^3dx
(3)∫02x(x−2)2dx(3)\quad \displaystyle\int_0^2 x(x-2)^2dx
(4)∫12(x3−2x+1)dx(4)\quad \displaystyle\int_1^2 (x^3-2x+1)dx
(5)∫−11(x3+x2−x+1)dx(5)\quad \displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3+x^2-x+1)dx

答えを見る

(1)  (1)\; 2‾\underline{2}

(2)  (2)\; 10‾\underline{10}

(3)  (3)\; 43‾\underline{\frac{4}{3}}

(4)  (4)\; 74‾\underline{\frac{7}{4}}

(5)  (5)\; 83‾\underline{\frac{8}{3}}

解説

定積分の計算について、様々なパターンを解説していきます。

定積分って、いろんなパターンがあって混乱します...

確かに最初は複雑に見えるよね。でも基本は同じで、工夫の仕方を覚えれば大丈夫だよ！

一緒に代表的なパターンを見ていこう。

1
多項式の定積分
(1)∫12(3x2−4x+1)dx(1)\quad \displaystyle\int_1^2 (3x^2-4x+1)dx

多項式の積分は各項ごとに計算すればいいね。

∫xndx=1n+1xn+1\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}を使って順番に積分していこう。

∫12(3x2−4x+1)dx\displaystyle\int_1^2 (3x^2-4x+1)dx
=[x3−2x2+x]12= \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_1^2
=(8−8+2)−(1−2+1)= (8 - 8 + 2) - (1 - 2 + 1)
=2−0= 2 - 0
=2‾= \underline{2}
(0.67, -0.33) 0.33 1 0 1 2 -1 1 2 3 4 5
y = 3x^2 - 4x + 1

上のグラフはy=3x2−4x+1y = 3x^2 - 4x + 1です。x=1x = 1からx=2x = 2までの定積分は、この区間でグラフとxx軸の間の面積を表します。

項ごとに積分して、最後に代入すればいいんですね！

2
(ax+b)n(ax+b)^nの定積分
(2)∫01(2x+1)3dx(2)\quad \displaystyle\int_0^1 (2x+1)^3dx

(ax+b)n(ax+b)^nの形の積分には公式があるよ。

なぜ1a\frac{1}{a}が出てくるんですか？

いい質問だね！微分してみると分かるよ。

ddx(ax+b)n+1=(n+1)(ax+b)n⋅a\frac{d}{dx}(ax+b)^{n+1} = (n+1)(ax+b)^n \cdot a

となるから、a(n+1)a(n+1)で割る必要があるんだ。

この公式を使って計算すると、

∫01(2x+1)3dx\displaystyle\int_0^1 (2x+1)^3dx
=[12⋅4(2x+1)4]01= \left[\frac{1}{2 \cdot 4}(2x+1)^4\right]_0^1
=18[(2x+1)4]01= \frac{1}{8}\left[(2x+1)^4\right]_0^1
=18(34−14)= \frac{1}{8}(3^4 - 1^4)
=18(81−1)= \frac{1}{8}(81 - 1)
=808=10‾= \frac{80}{8} = \underline{10}

展開してから積分する方法もあるけど、この公式を使うと計算がずっと楽になるよ。

3
展開して積分する
(3)∫02x(x−2)2dx(3)\quad \displaystyle\int_0^2 x(x-2)^2dx

(x−2)2(x-2)^2が入っていて複雑ですね...

まず(x−2)2(x-2)^2を展開してから積分しよう。

(x−2)2=x2−4x+4(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4なので、

x(x−2)2=x(x2−4x+4)x(x-2)^2 = x(x^2 - 4x + 4)
=x3−4x2+4x= x^3 - 4x^2 + 4x

これを積分します。

∫02x(x−2)2dx\displaystyle\int_0^2 x(x-2)^2dx
=∫02(x3−4x2+4x)dx= \displaystyle\int_0^2 (x^3 - 4x^2 + 4x)dx
=[x44−4x33+2x2]02= \left[\frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 2x^2\right]_0^2
=(164−323+8)−0= \left(\frac{16}{4} - \frac{32}{3} + 8\right) - 0
=4−323+8= 4 - \frac{32}{3} + 8
=12−323= 12 - \frac{32}{3}
=36−323= \frac{36 - 32}{3}
=43‾= \underline{\frac{4}{3}}

展開して多項式にすれば、項ごとに積分できるね！

4
3次式の定積分
(4)∫12(x3−2x+1)dx(4)\quad \displaystyle\int_1^2 (x^3-2x+1)dx

3次式の積分ですね。項ごとに計算すればいいですか？

その通り！多項式の積分は、各項ごとに積分公式を適用すればいいよ。

∫12(x3−2x+1)dx\displaystyle\int_1^2 (x^3-2x+1)dx
=[x44−x2+x]12= \left[\frac{x^4}{4} - x^2 + x\right]_1^2
=(164−4+2)−(14−1+1)= \left(\frac{16}{4} - 4 + 2\right) - \left(\frac{1}{4} - 1 + 1\right)
=(4−4+2)−14= (4 - 4 + 2) - \frac{1}{4}
=2−14= 2 - \frac{1}{4}
=74‾= \underline{\frac{7}{4}}

3次式でも基本は同じですね！各項ごとに積分して代入すればいいんだ。

5
対称性を利用した計算
(5)∫−11(x3+x2−x+1)dx(5)\quad \displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3+x^2-x+1)dx

この問題は計算してもいいけど、関数の対称性を使うとグッと楽になるよ。

奇関数と偶関数...どうやって見分けるんですか？

x3x^3やxxのような奇数次の項は奇関数、x2x^2や定数項のような偶数次の項は偶関数だよ。

この問題では、x3−xx^3 - xが奇関数、x2+1x^2 + 1が偶関数になるね。

被積分関数を奇関数部分と偶関数部分に分けると、

(x3+x2−x+1)=(x3−x)+(x2+1)(x^3 + x^2 - x + 1) = (x^3 - x) + (x^2 + 1)

奇関数部分：∫−11(x3−x)dx=0\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^3 - x)dx = 0

偶関数部分y=x2+1y = x^2 + 1のグラフを見てみましょう。

(0, 1) -2 -1 0 1 2 1 2 3
y = x^2 + 1

グラフがyy軸に関して対称なので、−1-1から11までの積分は00から11までの積分の22倍になります。

偶関数部分：

∫−11(x2+1)dx\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^2 + 1)dx
=2∫01(x2+1)dx= 2\displaystyle\int_0^1 (x^2 + 1)dx
=2[x33+x]01= 2\left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^1
=2(13+1)= 2\left(\frac{1}{3} + 1\right)
=2⋅43= 2 \cdot \frac{4}{3}
=83= \frac{8}{3}

よって、答えは83‾\underline{\frac{8}{3}}

奇関数の積分が00になるのは便利ですね！

そうだね。積分区間が[−a,a][-a, a]のように原点対称のときは、まず対称性を確認する習慣をつけよう！

このページのまとめ

ここでは定積分の様々な計算パターンについて学習しました。

  • 多項式：各項ごとに積分
  • (ax+b)n(ax+b)^n：公式1a(n+1)(ax+b)n+1\frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1}を使う
  • 展開して積分：複雑な式は多項式に展開してから
  • 対称性：奇関数は00、偶関数は22倍に

どのパターンを使うか見極められるように、たくさん問題を解いて練習してくださいね！

アプリで続ける

この問題の「よくある質問」や「解法の鍵」は、アプリで読めます。

この問題に関するよくある疑問への回答や、解法のポイントをまとめた「解法の鍵」はアプリに収録しています。 類題演習やAIへの質問もアプリから使えます。定積分の計算 に近い内容をそのまま続けられます。

よくある質問 解法の鍵 類題演習 AIに質問
App Store Google Play

ストアからダウンロードして、同じ単元の演習やAI質問をそのまま続けられます。