基本的な定積分

問題

次の定積分の値を求めよ。

解説

積分の問題について解説していきます。

まずは定積分の公式について確認しておきましょう！

この公式を踏まえ、実際に問題を見ていきます。

被積分関数にカッコがついているのが気になりますね。まずは展開しましょう。

$(x+1)^2=x^2+2x+1$となりますね。

つまり$\int_0^1 (x^2+2x+1)dx$を計算すれば良いですね。

ここで、基本的な積分のやり方を確認しておきます。

積分すると、$\left[ \frac{1}{3}x^3+x^2+x \right]_0^1=\frac{1}{3}+1+1=\underline{\frac{7}{3}}$となります。

実は、被積分関数が$(x+\alpha)^n(\alphaは定数)$のときは展開しなくても積分を実行することができるんだ。

$\int (x+\alpha )^ndx=\frac{1}{n+1}(x+ \alpha)^{n+1}+C$$({C}は積分定数)$というようになるよ。

$x$の係数が$1$じゃないと使えないから気をつけてね。

その方法も覚えておいたほうがいいですか？

うん。今回の問題は被積分関数が$(x+1)^2$だったよね。

でもこれが$(x+1)^4$だったらどうだろう？そんなときに便利な公式だよ。

確かに展開するのは面倒ですね。

でもこの公式は使える場面が本当に限られているから使えない問題で使わないようにしてね。

例えば被積分関数が$(2x+1)^4$だったら成り立たないよ。

積分は微分の逆だから、右辺を微分してみると分かりやすいかもしれないね。

この方法を使って問題を解いてみると、

$\int_0^1 (x+1)^2dx = \int_0^1 \left[ \frac{1}{3}(x+1)^3 \right]_0^1=\frac{1}{3}(8-1)=\frac{7}{3}$となります。

ここでは定積分の問題について解説しました。

基礎的な積分をしっかり練習して解き方を身につけていきましょう！