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積分

面積の公式（放物線と直線）

基本的な面積計算

積分の「面積の公式（放物線と直線）」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「基本的な面積計算」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約12分 難易度 2 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

面積の公式（放物線と直線）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: 基本的な面積計算
  • ポイント: 積分の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

(1)(1)\quad 放物線 y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 と xx 軸で囲まれた部分の面積 SS を求めよ。

(2)(2)\quad 放物線 y=x2y = x^2 と直線 y=x+2y = x + 2 で囲まれた部分の面積 SS を求めよ。

答えを見る

(1)  (1)\; S=323‾S = \underline{\dfrac{32}{3}}

(2)  (2)\; S=92‾S = \underline{\dfrac{9}{2}}

解説

放物線と直線で囲まれた面積の求め方について解説します。

面積ってどうやって求めるんですか？

積分を使って求めるんだ。

基本的な考え方は「上の曲線から下の曲線を引いて積分する」だよ。

「上の曲線 - 下の曲線」ということですね！

その通り！この考え方をしっかり覚えておこう。

それでは(1)(1)の問題を解いていきます。

(1)(1)\quad 放物線 y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 と xx 軸で囲まれた部分の面積 SS を求めよ。

まず、放物線と xx 軸の交点を求めます。xx 軸は y=0y = 0 なので

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
(x−3)(x+1)=0(x - 3)(x + 1) = 0
x=−1,3x = -1, 3

交点の xx 座標が積分区間になるよ。

今回は −1-1 から 33 まで積分するんだね。

次に、区間 [−1,3][-1, 3] でどちらが上にあるか確認します。

次に、区間 [−1,3][-1, 3] でどちらが上にあるか確認します。

y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 3 は下に凸の放物線で、x=−1,3x = -1, 3 で xx 軸と交わるので、

y = x^2 - 2x - 3 -2-101234 -4-22

なるほど、だから「0−(x2−2x−3)0 - (x^2 - 2x - 3)」を積分するんですね！

そうです。面積を計算すると、

S=∫−13{0−(x2−2x−3)}dxS = \int_{-1}^{3} \{0 - (x^2 - 2x - 3)\} dx
=∫−13(−x2+2x+3)dx= \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx
=[−x33+x2+3x]−13= \left[ -\dfrac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}
=(−9+9+9)−(13+1−3)= \left( -9 + 9 + 9 \right) - \left( \dfrac{1}{3} + 1 - 3 \right)
=9−(−53)= 9 - \left( -\dfrac{5}{3} \right)
=9+53=323‾= 9 + \dfrac{5}{3} = \underline{\dfrac{32}{3}}

実は、この形の問題には便利な公式があるんだ。

覚えておくと計算がとても楽になるよ。

この公式を使うと、y=x2−2x−3=(x−3)(x+1)y = x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) より、

この公式を使うと、y=x2−2x−3=(x−3)(x+1)y = x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) より、

a=1a = 1, α=−1\alpha = -1, β=3\beta = 3 なので、

おお！同じ答えになりました！公式を使うと速いですね！

続いて(2)(2)の問題を解きます。

(2)(2)\quad 放物線 y=x2y = x^2 と直線 y=x+2y = x + 2 で囲まれた部分の面積 SS を求めよ。

まず、交点を求めます。x2=x+2x^2 = x + 2 より、

x2−x−2=0x^2 - x - 2 = 0
(x−2)(x+1)=0(x - 2)(x + 1) = 0
x=−1,2x = -1, 2

区間 [−1,2][-1, 2] で、直線 y=x+2y = x + 2 が放物線 y=x2y = x^2 より上にあります。

y = x^2 y = x + 2 -2024 -112345

どちらが上かは、交点の間の点（例えば x=0x = 0）を代入して確認できるよ。

x=0x = 0 のとき、直線は y=2y = 2、放物線は y=0y = 0 だから直線が上だね。

面積を計算すると、

S=∫−12{(x+2)−x2}dxS = \int_{-1}^{2} \{(x + 2) - x^2\} dx
=∫−12(−x2+x+2)dx= \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx
=[−x33+x22+2x]−12= \left[ -\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2}
=(−83+2+4)−(13+12−2)= \left( -\dfrac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - 2 \right)
=103−(−76)= \dfrac{10}{3} - \left( -\dfrac{7}{6} \right)
=103+76=206+76=92‾= \dfrac{10}{3} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{20}{6} + \dfrac{7}{6} = \underline{\dfrac{9}{2}}

この形の問題にも公式があるよ。

放物線と直線で囲まれた面積だから「6分の1公式」が使えるんだ。

放物線と直線の差 (x+2)−x2=−x2+x+2=−(x2−x−2)=−(x−2)(x+1)(x + 2) - x^2 = -x^2 + x + 2 = -(x^2 - x - 2) = -(x - 2)(x + 1) より、

放物線と直線の差 (x+2)−x2=−x2+x+2=−(x2−x−2)=−(x−2)(x+1)(x + 2) - x^2 = -x^2 + x + 2 = -(x^2 - x - 2) = -(x - 2)(x + 1) より、

放物線と直線の差 (x+2)−x2=−x2+x+2=−(x2−x−2)=−(x−2)(x+1)(x + 2) - x^2 = -x^2 + x + 2 = -(x^2 - x - 2) = -(x - 2)(x + 1) より、

公式を使うと計算がとても楽ですね！

公式を使うと計算がとても楽ですね！

試験では途中経過を書くことが求められることもあるからね。

このページのまとめ

ここでは放物線と直線で囲まれた面積の求め方について学習しました。

  1. 交点を求めて積分区間を決める
  2. 「上の曲線 - 下の曲線」で被積分関数を作る
  3. 積分して面積を求める

6分の1公式は便利ですが、まずは基本の積分計算をしっかりできるようになりましょう！

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