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積分

面積の公式（2曲線間）

曲線で囲まれた面積

積分の「面積の公式（2曲線間）」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「曲線で囲まれた面積」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約15分 難易度 2 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

面積の公式（2曲線間）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: 曲線で囲まれた面積
  • ポイント: 積分の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

(1)(1)\quad 2つの曲線 y=x2y = x^2 と y=−x2+4xy = -x^2 + 4x で囲まれた部分の面積 SS を求めよ。

(2)(2)\quad 2つの曲線 y=x3−3xy = x^3 - 3x と y=xy = x で囲まれた部分の面積 SS を求めよ。

(3)(3)\quad 放物線 y=x2y = x^2、直線 y=2xy = 2x、および直線 x=2x = 2 で囲まれた部分の面積 SS を求めよ。

答えを見る

(1)  (1)\; S=83‾S = \underline{\dfrac{8}{3}}

(2)  (2)\; S=8‾S = \underline{8}

(3)  (3)\; S=43‾S = \underline{\dfrac{4}{3}}

解説

2つの曲線で囲まれた面積の求め方について解説します。

放物線と直線のときと何が違うんですか？

基本的な考え方は同じだよ。

「上の曲線から下の曲線を引いて積分」が基本だね。

ただ、2曲線のときは上下関係が途中で入れ替わることがあるから注意が必要なんだ。

上下関係が入れ替わるってどういうことですか？

例えば、区間の途中で2曲線が交わると、どちらが上かが変わることがあるんだ。

そのときは区間を分けて積分する必要があるよ。

それでは(1)(1)の問題を解いていきます。

(1)(1)\quad 2つの曲線 y=x2y = x^2 と y=−x2+4xy = -x^2 + 4x で囲まれた部分の面積 SS を求めよ。

-1 0 1 2 3 -1 1 2 3 4 5
y = x^2
y = -x^2 + 4x

まず、2曲線の交点を求めます。x2=−x2+4xx^2 = -x^2 + 4x より、

2x2−4x=02x^2 - 4x = 0
2x(x−2)=02x(x - 2) = 0
x=0,2x = 0, 2

交点の xx 座標が積分区間 [0,2][0, 2] になるね。

次に、この区間でどちらの曲線が上にあるか確認しよう。

区間 [0,2][0, 2] の中間点 x=1x = 1 を代入して比較します。

  • y=x2y = x^2 のとき：y=1y = 1
  • y=−x2+4xy = -x^2 + 4x のとき：y=−1+4=3y = -1 + 4 = 3

よって、区間 [0,2][0, 2] では −x2+4x≧x2-x^2 + 4x \geqq x^2 なので、y=−x2+4xy = -x^2 + 4x が上です。

上の曲線が分かりました！積分してみます。

面積を計算すると、

S=∫02{(−x2+4x)−x2} dxS = \int_0^2 \{(-x^2 + 4x) - x^2\} \, dx
=∫02(−2x2+4x) dx= \int_0^2 (-2x^2 + 4x) \, dx
=[−2x33+2x2]02= \left[ -\dfrac{2x^3}{3} + 2x^2 \right]_0^2
=(−163+8)−0= \left( -\dfrac{16}{3} + 8 \right) - 0
=−163+243=83‾= -\dfrac{16}{3} + \dfrac{24}{3} = \underline{\dfrac{8}{3}}

この問題では上下関係が変わらなかったから、シンプルに計算できたね。

次は上下関係が途中で入れ替わる問題を見てみよう。

続いて(2)(2)の問題を解きます。

(2)(2)\quad 2つの曲線 y=x3−3xy = x^3 - 3x と y=xy = x で囲まれた部分の面積 SS を求めよ。

-3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -2 2 4
y=x3−3xy = x^3 - 3x と y=xy = x のグラフ（x=−2,0,2x = -2, 0, 2 で交わる）
y=x3−3xy=x^{3}-3x
y=xy=x

まず、2曲線の交点を求めます。x3−3x=xx^3 - 3x = x より、

x3−4x=0x^3 - 4x = 0
x(x2−4)=0x(x^2 - 4) = 0
x(x+2)(x−2)=0x(x + 2)(x - 2) = 0
x=−2,0,2x = -2, 0, 2

交点が3つありますね...

そうだね。この場合、囲まれた部分が2つできるんだ。

それぞれの区間で上下関係を確認する必要があるよ。

区間 [−2,0][-2, 0] と [0,2][0, 2] で上下関係を確認します。

x=−1x = -1（区間 [−2,0][-2, 0] の中間点）のとき：

  • y=x3−3x=−1+3=2y = x^3 - 3x = -1 + 3 = 2
  • y=x=−1y = x = -1

よって、区間 [−2,0][-2, 0] では x3−3x≧xx^3 - 3x \geqq x（3次関数が上）。

x=1x = 1（区間 [0,2][0, 2] の中間点）のとき：

  • y=x3−3x=1−3=−2y = x^3 - 3x = 1 - 3 = -2
  • y=x=1y = x = 1

よって、区間 [0,2][0, 2] では x≧x3−3xx \geqq x^3 - 3x（直線が上）。

上下関係が入れ替わっています！

その通り！だから区間を分けて積分するんだ。

それぞれの区間で「上 - 下」を計算して、最後に足し合わせるよ。

面積を計算すると、

S=∫−20{(x3−3x)−x} dx+∫02{x−(x3−3x)} dxS = \int_{-2}^{0} \{(x^3 - 3x) - x\} \, dx + \int_0^2 \{x - (x^3 - 3x)\} \, dx
=∫−20(x3−4x) dx+∫02(−x3+4x) dx= \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx + \int_0^2 (-x^3 + 4x) \, dx

第1項を計算すると、

∫−20(x3−4x) dx=[x44−2x2]−20\int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \dfrac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0}
=0−(4−8)=0−(−4)=4= 0 - \left( 4 - 8 \right) = 0 - (-4) = 4

第2項を計算すると、

∫02(−x3+4x) dx=[−x44+2x2]02\int_0^2 (-x^3 + 4x) \, dx = \left[ -\dfrac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_0^2
=(−4+8)−0=4= \left( -4 + 8 \right) - 0 = 4

よって、S=4+4=8‾S = 4 + 4 = \underline{8}

被積分関数 x3−4xx^3 - 4x は奇関数だから、原点に関して対称になるんだ。

だから2つの面積が等しくなったんだね。

対称性を使えば計算が楽になりますね！

最後に(3)(3)の問題を解きます。

(3)(3)\quad 放物線 y=x2y = x^2、直線 y=2xy = 2x、および直線 x=2x = 2 で囲まれた部分の面積 SS を求めよ。

-1 0 1 2 3 -1 1 2 3 4 5
y = x^2
y = 2x

3つの曲線で囲まれている場合はどうしたらいいですか？

まずは交点を求めて、図を描いてみよう。

どの曲線とどの曲線で囲まれているか、区間ごとに確認するんだ。

各曲線の交点を求めます。

放物線 y=x2y = x^2 と直線 y=2xy = 2x の交点：

x2=2xx^2 = 2x
x2−2x=0x^2 - 2x = 0
x(x−2)=0x(x - 2) = 0
x=0,2x = 0, 2

放物線と直線が x=0x = 0 と x=2x = 2 で交わっているね。

直線 x=2x = 2 もちょうど x=2x = 2 を通るから、囲まれた領域は区間 [0,2][0, 2] で考えればいいんだ。

区間 [0,2][0, 2] で上下関係を確認します。x=1x = 1 を代入すると、

  • y=x2=1y = x^2 = 1
  • y=2x=2y = 2x = 2

よって、区間 [0,2][0, 2] では直線 y=2xy = 2x が上で、放物線 y=x2y = x^2 が下です。

面積を計算すると、

S=∫02(2x−x2) dxS = \int_0^2 (2x - x^2) \, dx
=[x2−x33]02= \left[ x^2 - \dfrac{x^3}{3} \right]_0^2
=(4−83)−0= \left( 4 - \dfrac{8}{3} \right) - 0
=12−83=43‾= \dfrac{12 - 8}{3} = \underline{\dfrac{4}{3}}

この問題では放物線と直線が x=0x = 0 と x=2x = 2 で交わっていたから、

直線 x=2x = 2 は実質的に積分区間の端点を決めていただけだね。

なるほど！3つ以上の曲線でも、区間ごとに分けて考えればいいんですね。

その通り！3曲線以上の問題では、

まず交点を全て求めて区間を決め、

各区間で「上の曲線 - 下の曲線」を積分するんだ。

このページのまとめ

ここでは2つの曲線で囲まれた面積の求め方について学習しました。

  1. 交点を求めて積分区間を決める
  2. 各区間で上下関係を確認する（中間点を代入）
  3. 上下関係が入れ替わる場合は区間を分けて積分
  4. それぞれの面積を足し合わせる

上下関係の確認を忘れずに、丁寧に計算を進めましょう！

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