2円の位置関係

問題

円$C_1: x^2+y^2=4$と円$C_2: (x-5)^2+y^2=9$の位置関係を調べよ。

解説

2円の位置関係の問題について解説します。

2つの円の位置関係ってどうやって調べるんですか？

2つの円の位置関係は、中心間の距離$d$と2つの半径$r_1, r_2$の関係で決まるんだ。

まずは基本的な考え方を見ていこう！

5つもパターンがあるんですね...覚えられるかな。

実は図をイメージすれば簡単だよ。

2つの円が近づいていくと、離れている→外接→交わる→内接→内部、と変化するんだ。

境目が$r_1+r_2$と$|r_1-r_2|$になるんだよ。

それでは実際に問題を解いていこう。まず、それぞれの円の中心と半径を読み取ろう。

円$C_1: x^2+y^2=4$は、中心$(0, 0)$、半径$r_1=2$の円です。

円$C_2: (x-5)^2+y^2=9$は、中心$(5, 0)$、半径$r_2=3$の円です。

円の方程式から中心と半径を読み取るのは大丈夫です！

いいね！次に、中心間の距離$d$を求めよう。

2点$(0, 0)$と$(5, 0)$の距離を求めると、

中心間距離$d=5$が分かったね。では、$r_1+r_2$と$|r_1-r_2|$を計算してみよう。

• $$r_1+r_2 = 2+3 = 5$$

• $$|r_1-r_2| = |2-3| = 1$$

$d=5$で$r_1+r_2=5$だから...等しいですね！

その通り！$d = r_1+r_2$が成り立つから、2つの円は外接するんだ。

よって、$d = r_1+r_2 = 5$より、2つの円は$\underline{\text{外接する}}$。

外接するということは、2つの円が外側で1点だけ接しているということだよ。

この問題では、接点は$(2, 0)$になるね。

他のパターンの例も見てみたいです！

よし、それぞれのパターンを具体例で確認しておこう。

例えば、$r_1=2$、$r_2=3$のとき（$r_1+r_2=5$、$|r_1-r_2|=1$）

• $d=7$ のとき → $d > r_1+r_2$ → 離れている

• $d=5$ のとき → $d = r_1+r_2$ → 外接（今回の問題）

• $d=3$ のとき → $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ → 2点で交わる

• $d=1$ のとき → $d = |r_1-r_2|$ → 内接

• $d=0.5$ のとき → $d < |r_1-r_2|$ → 一方が他方の内部

$d$が大きいほど2つの円は離れて、$d$が小さいほど一方が他方の中に入っていくイメージだね。

ここでは2円の位置関係について学習しました。

中心間距離$d$と、$r_1+r_2$、$|r_1-r_2|$との大小関係で5つのパターンに分類できます。

図形問題では頻出のテーマなので、しっかりマスターしてくださいね！