2点間の距離・内分点・外分点

問題

$(1)\quad$ 2点$\mathrm{A}(1, 3)$, $\mathrm{B}(4, 7)$間の距離を求めよ。

$(2)\quad$ 2点$\mathrm{A}(2, 1)$, $\mathrm{B}(8, 4)$を$2:1$に内分する点の座標を求めよ。

$(3)\quad$ 2点$\mathrm{A}(1, 2)$, $\mathrm{B}(4, 5)$を$1:2$に外分する点の座標を求めよ。

解説

座標平面上の2点間の距離と、内分点・外分点の公式について解説します。

2点間の距離ってどうやって求めるんですか？

三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使えば求められるよ！

まずは公式を確認しよう。

これは三平方の定理から導かれる公式です。$x$方向の差と$y$方向の差を直角三角形の2辺と考えると、斜辺の長さが2点間の距離になります。

内分点の公式、分子の係数がクロスするのが覚えにくいです...

内分点の公式では、$m:n$に内分するとき$\mathrm{A}$の座標には$n$を、$\mathrm{B}$の座標には$m$を掛けるんだ。

「遠い方に大きい係数」と覚えると忘れにくいよ！

それでは問題を解いていきましょう。

公式に当てはめてみましょう。

図を見ると、横の差が$3$、縦の差が$4$で、$3:4:5$の直角三角形になっているね。

このような有名な比は覚えておくと計算が速くなるよ！

内分点の公式を使います。$\mathrm{A}(2, 1)$, $\mathrm{B}(8, 4)$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とします。

$m:n = 2:1$なので、$\mathrm{A}$の座標には$n=1$を、$\mathrm{B}$の座標には$m=2$を掛けるよ。

$\mathrm{P}$の$x$座標：$\dfrac{1 \times 2 + 2 \times 8}{2+1} = \dfrac{2+16}{3} = \dfrac{18}{3} = 6$

$\mathrm{P}$の$y$座標：$\dfrac{1 \times 1 + 2 \times 4}{2+1} = \dfrac{1+8}{3} = \dfrac{9}{3} = 3$

よって、求める内分点は$\underline{(6,\; 3)}$です。

$2:1$に内分するから、$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の間で$\mathrm{B}$寄りにあるんですね！

その通り！$\mathrm{A}$からの距離と$\mathrm{B}$からの距離の比が$2:1$だから、$\mathrm{B}$に近い位置になるんだね。

外分点の公式を使います。$\mathrm{A}(1, 2)$, $\mathrm{B}(4, 5)$を$1:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$とします。

外分とは、線分$\mathrm{AB}$の延長上に点を取ることだよ。

$m:n = 1:2$のとき$m < n$なので、$\mathrm{Q}$は$\mathrm{A}$側の延長上に出るんだ。

$\mathrm{Q}$の$x$座標：$\dfrac{-2 \times 1 + 1 \times 4}{1-2} = \dfrac{-2+4}{-1} = \dfrac{2}{-1} = -2$

$\mathrm{Q}$の$y$座標：$\dfrac{-2 \times 2 + 1 \times 5}{1-2} = \dfrac{-4+5}{-1} = \dfrac{1}{-1} = -1$

よって、求める外分点は$\underline{(-2,\; -1)}$です。

外分点は線分の外側にあるから、座標が$\mathrm{A}$や$\mathrm{B}$の間にはないんですね。

いいところに気づいたね！外分点では$\mathrm{QA} : \mathrm{QB} = 1:2$なので、

$\mathrm{Q}$から$\mathrm{A}$までと$\mathrm{Q}$から$\mathrm{B}$までの距離比が$1:2$になっているよ。

ここでは座標平面上の2点間の距離、内分点・外分点の公式について学習しました。

2点間の距離は三平方の定理から導かれるシンプルな公式です。

内分点の公式は「遠い方の座標に大きい係数」、外分点の公式は符号の扱いに注意しましょう。

これらは図形と方程式の分野の基本公式なので、しっかりマスターしてくださいね！