直線の垂直・平行条件

問題

$2$直線$(a-1)x-4y+2=0$と$x+(a-5)y+3=0$が垂直に交わるときと平行になるときの$a$の値をそれぞれ求めよ。

解説

直線の垂直と平行条件の問題について解説します。

直線が「垂直に交わる」とか「平行になる」ことを考えたい場合、何に注目すればいいだろう？

直線の「傾き」ですか？

その通り。直線の垂直・平行条件は次のようにまとめられるよ。

どちらの表現を使って考えても大丈夫だよ。

ただし(2)に関しては、この公式を覚えている必要があるから注意してね。

(2)を覚えていない前提で考えると、この問題を解く上で以下のような方針が立てられるね。

(2)を使った解法についてはこのページの最後に紹介するね！

1. 2直線の傾きをそれぞれ求める
2. 傾きの値を使って垂直・平行条件を使う

それでは実際に問題を解いていきましょう。

この2直線の傾きを求めていきます。2直線をそれぞれ

とします。

傾きを求めるためには、直線を$y=ax+b$の形で表してあげれば良いですね。

①の方程式を変形すると、$y=\frac{a-1}{4}x+\frac 1 2$となるので傾きは$\frac{a-1}{4}$となります。

次に②の傾きを求めていきます。

$y$以外の項を移項すると$(a-5)y=-x-3$となりますね。

次に$a-5$で両辺を割って$\cdots$あれ、$a-5$が$0$になる可能性もありますよね？

そうだね。文字で割るときは$0$にならないことを確認しなければならないんだったね。$a=5$のときは割れないから、$a=5$のときと$a\neq 5$の場合で場合分けして考えていこう。

$a=5$のとき${(1)はy=x+\frac{1}{2}}, {(2)}$は$x=-3$なので垂直でも平行でもありませんね。

分からなかったら図を書いてみてね。

次に$a\neq 5$の場合を考えます。

$a-5\neq 0$となるので、②の方程式は$y=-\frac{1}{a-5}x-\frac {3}{a-5}$と表せるので、傾きは$-\frac{1}{a-5}$となりますね。

以上より、$a=5$のときは垂直・平行にならず、$a\neq 0$のときは

となりました。

平行条件と垂直条件を考えると、

垂直となるのは$m_1 m_2=-1$のときなので$\frac{a-1}{4}\cdot \left(-\frac{1}{a-5}\right)=-1$

これを解いて$\underline{a=\frac{19}{3}}$のとき

平行となるのは$m_1 = m_2$のときなので $\frac{a-1}{4}=-\frac{1}{a-5}$

これを解いて$\underline{a=3}$ のときとなります。

最後に、垂直・平行条件(2)を使った場合の解法を紹介するよ。

こちらの公式を覚えているならこっちを使った方が素早く簡潔に求められるよ。

ここでは直線の垂直・平行条件の問題について解説しました。

考え方はそこまで難しくありませんが、いつ出題されても確実で正確な答えが出せるように練習してくださいね！