軌跡と領域

問題

$(1)\quad$ 2点$\mathrm{A}(0,\,2)$, $\mathrm{B}(4,\,0)$から等距離にある点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ。

$(2)\quad$ 連立不等式 $x \geqq 0,\; y \geqq 0,\; x+y \leqq 4,\; x+3y \leqq 6$ の表す領域において、$2x+y$の最大値と最小値を求めよ。

解説

軌跡と領域の問題について解説します。

「軌跡」ってなんですか？

ある条件を満たす点の集まりが描く図形のことだよ。

条件を$x$, $y$の方程式で表すのがポイントだね！

まず動点$\mathrm{P}(x,\,y)$とおいて、「$\mathrm{A}$からの距離 $=$ $\mathrm{B}$からの距離」を式にしてみよう。

条件は $\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$ ですので、距離の公式を使うと、

両辺を2乗して整理します。

直線の方程式になりました！

その通り！2点から等距離にある点の軌跡は「垂直二等分線」になるんだ。

逆に、直線$y=2x-3$上の任意の点は$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$を満たすので、これが求める軌跡だね。

よって、求める軌跡は直線 $\underline{y=2x-3}$ です。

軌跡の問題では、最後に「逆の確認」をすることを忘れないでね。

得られた方程式上の全ての点が条件を満たすかをチェックしよう。

これは線形計画法の問題だね。まずは領域を図示しよう。

4つの不等式を整理すると、

• $x \geqq 0$：$y$軸上およびその右側

• $y \geqq 0$：$x$軸上およびその上側

• $x+y \leqq 4$：直線$x+y=4$の左下側

• $x+3y \leqq 6$：直線$x+3y=6$の左下側

四角形の領域になっていますね。頂点はどう求めるんですか？

境界線の交点を求めればいいんだよ。連立方程式を解いていこう！

領域の頂点を求めます。

• 原点$O(0,\,0)$

• $(4,\,0)$：$x+y=4$と$y=0$の交点

• $(0,\,2)$：$x+3y=6$と$x=0$の交点

• $(3,\,1)$：$x+y=4$と$x+3y=6$の交点

$(3,\,1)$の計算を確認しましょう。

②$-$①より

①に代入して$x=3$

次に、$2x+y=k$とおいて、$k$が最大・最小になる点を探すよ。

$2x+y=k$を変形すると$y=-2x+k$で、これは傾きが$-2$、$y$切片が$k$の直線です。

$k$を大きくすると直線は上に平行移動し、$k$を小さくすると下に平行移動します。

傾きが$-2$の直線を動かして、領域内で$y$切片が最大・最小になる位置を探せばいいんですね！

その通り！各頂点での値を計算してみよう。

各頂点での$2x+y$の値を計算すると、

• $(0,\,0)$のとき：$2 \cdot 0+0=0$

• $(4,\,0)$のとき：$2 \cdot 4+0=8$

• $(0,\,2)$のとき：$2 \cdot 0+2=2$

• $(3,\,1)$のとき：$2 \cdot 3+1=7$

以上より、

• $x=4,\,y=0$のとき、最大値$\underline{8}$

• $x=0,\,y=0$のとき、最小値$\underline{0}$

最大値も最小値も頂点で取るんですね！

その通り！線形計画法では、最大・最小は必ず領域の頂点で達成されるよ。

これは重要なポイントだからしっかり覚えておこう。

ここでは軌跡の求め方と線形計画法について学習しました。

軌跡では「条件を座標の式で表す」こと、線形計画法では「領域の頂点を正確に求める」ことがポイントです。

どちらも図形と方程式の重要テーマなので、しっかりマスターしてくださいね！