領域と最大・最小

問題

$x \geqq 0, y \geqq 0, x+2y \leqq 6, 2x+y \leqq 6$のとき、$x+y$の最大値を求めよ。

解説

領域と最大・最小の問題について解説します。

不等式がたくさんあって、何から手を付ければいいかわかりません...

このような問題は「線形計画法」と呼ばれる手法で解くんだ。

まずは領域を図示して、その中で$x+y$がどう変化するか考えていこう！

それでは問題を見ていきましょう。

まずは4つの不等式が表す領域を図示しよう。

4つの不等式を整理すると、

• $x \geqq 0$：$y$軸上およびその右側

• $y \geqq 0$：$x$軸上およびその上側

• $x+2y \leqq 6$：直線$x+2y=6$およびその左下側

• $2x+y \leqq 6$：直線$2x+y=6$およびその左下側

これらの共通部分が求める領域です。

図を描いてみると、四角形の領域になりますね！

その通り！頂点の座標を求めておこう。

領域の頂点は以下の4点です。

• 原点$O(0, 0)$

• $x$軸との交点：$2x+y=6$で$y=0$とすると$(3, 0)$

• $y$軸との交点：$x+2y=6$で$x=0$とすると$(0, 3)$

• 2直線の交点：$x+2y=6$と$2x+y=6$を連立すると$(2, 2)$

2直線の交点を求める計算を確認しておきましょう。

①$\times 2$ - ②より

①に代入して$x=2$

よって、交点は$(2, 2)$です。

次に、$x+y$の値を最大にする点を探すよ。

$x+y=k$とおいて、この直線を動かして考えてみよう。

$x+y=k$を変形すると$y=-x+k$となります。

これは傾きが$-1$、$y$切片が$k$の直線です。

傾きが$-1$ということは、右下がりの直線ですね。

その通り！$k$を大きくすると直線は上に平行移動するよ。

領域内で$k$が最大になるのは、直線が領域と共有点を持つギリギリの位置だね。

傾き$-1$の直線を上に動かしていくと、点$(2, 2)$を通るときに領域と最後に交わります。

なるほど！$y$切片が大きいほど$k$が大きいから、直線をできるだけ上に動かせばいいんですね！

よく気づいたね。だから最大値は頂点で取ることが多いんだ。

点$(2, 2)$のとき、$x+y=2+2=4$となります。

念のため、他の頂点での値も確認しておきましょう。

• $(0, 0)$のとき：$x+y=0$

• $(3, 0)$のとき：$x+y=3$

• $(0, 3)$のとき：$x+y=3$

• $(2, 2)$のとき：$x+y=4$

以上より、$x+y$は$(2, 2)$のとき最大値$\underline{4}$をとります。

線形計画法のポイントをまとめておくよ。

ここでは線形計画法の問題について学習しました。

領域を正確に図示すること、目的関数を直線として動かすイメージを持つことが大切です。

頂点の座標計算でミスしないように、丁寧に解いていきましょう！